Comparatif des probabilités de gain

La probabilité de remporter le jackpot d’une loterie est de 1 chance sur le nombre de billets différents que vous pourriez acheter. Dans un jeu où vous choisissez 6 numéros sur 49, il y a 13 983 816 combinaisons possibles : une grille a donc 1 chance sur 13 983 816. Le même calcul donne 1 chance sur 292 201 338 au Powerball, 1 chance sur 139 838 160 à l’EuroMillions et 1 chance sur 45 057 474 au Lotto du Royaume-Uni.

Ce que signifient les probabilités de loterie

« 1 chance sur 13 983 816 » signifie qu’il y a 13 983 816 issues également probables, et que votre grille est l’une d’elles. En termes de probabilité, cela fait 1 ÷ 13 983 816, soit environ 0,0000072 %. En toute rigueur, un statisticien appellerait cela la probabilité ; la cote, elle, serait de 13 983 815 contre 1. Les loteries donnent des chiffres du type « 1 chance sur », et cette page aussi.

Deux conséquences en découlent. Plus de grilles améliorent vos chances dans la même proportion : 10 grilles différentes dans le même tirage 6/49 donnent 10 chances sur 13 983 816, soit environ 1 chance sur 1 398 382. Et chaque tirage repart de zéro : avoir perdu la semaine dernière ne vous rend pas plus susceptible de gagner cette semaine, car les boules n’ont pas de mémoire.

Comment se calculent les probabilités de loterie

Choisir des numéros dans une seule urne

Dans un jeu de loto, l’ordre des numéros n’a pas d’importance : 7-12-23-31-40-44 est la même grille, quelle que soit la boule sortie en premier. Le nombre de façons de choisir k numéros parmi n est le nombre de combinaisons, noté C(n, k) :

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Le « ! » signifie qu’on multiplie tous les nombres entiers en descendant jusqu’à 1 : 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Pour un jeu 6/49, multipliez les six nombres en partant de 49 vers le bas, puis divisez par 6! pour éliminer les différents ordres dans lesquels les mêmes six boules peuvent sortir :

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10 068 347 520 ÷ 720 = 13 983 816

Chaque boule supplémentaire dans l’urne réduit vos chances. Choisir 6 numéros sur 45 donne 8 145 060 combinaisons, alors que 6 sur 59 en donne 45 057 474, plus de cinq fois plus.

Deux urnes se multiplient

Des jeux comme le Powerball et l’EuroMillions tirent une seconde série de boules, distincte de la première. Chaque combinaison de la première urne peut aller avec chaque combinaison de la seconde, si bien que les deux nombres se multiplient :

• Powerball, 5 sur 69 plus 1 sur 26 : C(69, 5) × 26 = 11 238 513 × 26 = 292 201 338.
• EuroMillions, 5 sur 50 plus 2 étoiles sur 12 : C(50, 5) × C(12, 2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160.
• Mega Millions, 5 sur 70 plus 1 sur 24 : C(70, 5) × 24 = 12 103 014 × 24 = 290 472 336.

La seconde urne explique en grande partie pourquoi ces jackpots sont tellement plus difficiles à gagner que celui d’un jeu 6/49 : une seule boule supplémentaire, tirée parmi 26, multiplie par 26 le nombre de combinaisons.

Jeux à chiffres : 10 puissance le nombre de chiffres

Au Pick 3, au Pick 4, au 4D et à la Loterie du gouvernement thaïlandais, chaque chiffre va de 0 à 9 et est tiré séparément : un chiffre peut donc se répéter, et l’ordre compte. Chaque chiffre a 10 possibilités, donc k chiffres donnent 10^k nombres : 1 chance sur 1 000 pour trois chiffres, 1 sur 10 000 pour quatre et 1 sur 1 000 000 pour six. Ces valeurs correspondent à tous les chiffres trouvés dans l’ordre exact (un jeu « straight »).

Les petits gains

Pour trouver exactement m de vos k numéros, comptez les façons de choisir m des k numéros gagnants et k − m des numéros perdants, puis divisez par le nombre total de combinaisons : C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Pour un jeu 6/49 :

Ne trouver aucun des six numéros est le résultat le plus fréquent. La page de chaque loterie, comme le Lotto du Royaume-Uni ou le Powerball, donne les probabilités de chaque résultat pour ce jeu.

Les probabilités du jackpot de chaque loterie du site

Voici la probabilité qu’une grille contienne tous les numéros que choisit un joueur, calculée à partir de la formule de chaque jeu comme ci-dessus. Dans chaque région, le jackpot le plus facile vient en premier. Les probabilités les plus faibles du site sont celles des jeux à 6 numéros sur 90, le SuperEnalotto et le Çılgın Sayısal Loto turc, à 1 chance sur 622 614 630. Les meilleures probabilités de loto sont celles du Mini Loto japonais, 5 numéros sur 31, à 1 chance sur 169 911, et les jeux à chiffres font mieux encore.

Tous pays

Amériques

Europe

Asie

Océanie

Afrique

Les numéros bonus que la loterie tire sans que les joueurs les choisissent, les jeux additionnels et les tombolas ne sont pas inclus : le tableau des gains d’un opérateur peut donc compter plus de rangs. Les opérateurs indiquent aussi une « probabilité globale » de remporter un gain quelconque, bien plus élevée parce qu’elle inclut les plus petits gains. Les formules changent de temps en temps, et seul le règlement officiel de votre loterie fait foi.

À quoi ressemble 1 chance sur 292 201 338

Des nombres aussi grands sont difficiles à se représenter. Voici le jackpot du Powerball en termes plus familiers :

• Le temps : en jouant une grille à chaque tirage, à raison de trois tirages par semaine, il faudrait s’attendre à patienter environ 1,9 million d’années pour un jackpot. Pour un jeu 6/49 tiré deux fois par semaine, l’attente est d’environ 134 000 ans.
• Les secondes : il y a environ 292 201 338 secondes en 9,3 ans. Gagner, c’est comme deviner la seconde que quelqu’un a choisie dans tout ce temps.
• Les pièces : lancer une pièce et obtenir face 28 fois de suite, c’est 1 chance sur 268 435 456, un peu plus probable que le jackpot.
• Beaucoup de billets : 100 grilles à chaque tirage pendant 50 ans, cela fait 780 000 grilles. La probabilité que l’une d’elles remporte le jackpot n’est pourtant que d’environ 1 chance sur 375.

Pourquoi 1-2-3-4-5-6 a autant de chances que n’importe quelle autre grille

Dans un tirage équitable, chaque boule a la même probabilité de sortir, donc chaque combinaison a la même probabilité : dans un jeu 6/49, 1-2-3-4-5-6 a exactement autant de chances que 3-17-22-30-41-48, soit 1 chance sur 13 983 816. Elle paraît moins probable uniquement parce que nous remarquons les motifs. Il existe quelques grilles mémorables et des millions de grilles quelconques : c’est donc presque toujours une grille quelconque qui gagne.

Pour la même raison, il n’y a pas de numéros « chauds » ou « froids ». Un numéro « en retard », qui n’est pas sorti depuis des mois, n’a pas plus de chances de sortir qu’un autre, et un numéro sorti la semaine dernière n’en a pas moins. La machine ne sait pas ce qui s’est passé lors des tirages précédents.

Le choix de vos numéros a un effet, et un seul : le nombre de personnes avec qui vous pourriez partager. Beaucoup de joueurs choisissent des dates d’anniversaire (de 1 à 31), des suites et des motifs sur la grille : si une telle grille gagne, le jackpot est souvent partagé entre plus de gagnants. Une grille tirée au hasard évite ces habitudes humaines. Elle ne change pas vos chances de gagner, mais elle peut rendre un jackpot partagé moins probable. Vous pouvez en tirer une avec le générateur de numéros de loterie.

Espérance de gain : ce que vaut un billet en moyenne

L’espérance de gain d’un billet est ce qu’il rapporterait en moyenne sur une très longue période. Pour chaque gain, multipliez son montant par la probabilité de le remporter, additionnez les résultats, puis soustrayez le prix du billet.

Les loteries sont conçues pour reverser moins en gains qu’elles n’encaissent. Une partie de chaque billet paie le fonctionnement du jeu, les détaillants, les taxes et, dans de nombreux pays, de bonnes causes. L’espérance de gain d’un billet est donc négative : en moyenne, il rapporte moins qu’il ne coûte. Un jackpot qui s’accumule fait grimper le premier prix, mais les probabilités restent les mêmes. Les gros jackpots font aussi vendre plus de billets, ce qui rend un gain partagé plus probable, et les impôts ou le choix d’un versement unique, plus faible, peuvent réduire ce qui est réellement payé.

Cette page explique les mathématiques ; ce n’est pas un conseil financier. Si vous jouez, considérez un billet comme le prix d’un divertissement, fixez-vous un budget et ne dépensez jamais d’argent que vous ne pouvez pas vous permettre de perdre. Les loteries sont réservées aux adultes (18 ans ou plus, ou l’âge légal là où vous vivez).