Probabilità delle lotterie a confronto

La probabilità di vincere il jackpot di una lotteria è di 1 sul numero di biglietti diversi che potresti comprare. In un gioco in cui scegli 6 numeri su 49 ci sono 13.983.816 combinazioni possibili, quindi una combinazione ha una probabilità di 1 su 13.983.816. Lo stesso calcolo dà 1 su 292.201.338 per Powerball, 1 su 139.838.160 per EuroMillions e 1 su 45.057.474 per il Lotto britannico.

Che cosa significano le probabilità del lotto

«1 su 13.983.816» significa che ci sono 13.983.816 esiti ugualmente probabili, e la tua combinazione è uno di questi. Come probabilità è 1 ÷ 13.983.816, cioè circa lo 0,0000072%. A rigore, per uno statistico questa è la probabilità, mentre la quota contraria sarebbe di 13.983.815 a 1. Le lotterie indicano valori del tipo «1 su», e così fa anche questa pagina.

Ne derivano due cose. Più combinazioni significano probabilità proporzionalmente migliori: 10 combinazioni diverse nella stessa estrazione di un 6/49 danno una probabilità di 10 su 13.983.816, cioè circa 1 su 1.398.382. E ogni estrazione riparte da zero: aver perso la settimana scorsa non aumenta le tue probabilità di vincere questa settimana, perché le palline non hanno memoria.

Come si calcolano le probabilità del lotto

Scegliere numeri da un’unica urna

In un gioco di lotto l’ordine dei numeri non conta: 7-12-23-31-40-44 è la stessa combinazione, qualunque pallina sia uscita per prima. Il numero di modi di scegliere k numeri su n è il numero di combinazioni, che si scrive C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Il «!» indica il prodotto di tutti i numeri interi fino a 1, quindi 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Per un gioco 6/49, moltiplica i sei numeri a scendere da 49, poi dividi per 6! per eliminare i diversi ordini in cui possono comparire le stesse sei palline:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Ogni pallina in più nell’urna abbassa le probabilità. Scegliere 6 numeri su 45 dà 8.145.060 combinazioni, mentre 6 su 59 ne dà 45.057.474, più di cinque volte tante.

Due urne si moltiplicano

Giochi come Powerball ed EuroMillions estraggono un secondo gruppo di palline, separato. Ogni combinazione della prima urna può andare con ogni combinazione della seconda, quindi i due conteggi si moltiplicano:

• Powerball, 5 su 69 più 1 su 26: C(69, 5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338.
• EuroMillions, 5 su 50 più 2 stelle su 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
• Mega Millions, 5 su 70 più 1 su 24: C(70, 5) × 24 = 12.103.014 × 24 = 290.472.336.

La seconda urna è una delle ragioni principali per cui questi jackpot sono molto più difficili da vincere rispetto a un gioco 6/49: una sola pallina in più, da un’urna di 26, rende la vincita 26 volte più difficile.

Giochi a cifre: 10 elevato al numero di cifre

In Pick 3, Pick 4, 4D e nella Lotteria di Stato thailandese, ogni cifra va da 0 a 9 ed è estratta separatamente, quindi una cifra può ripetersi e l’ordine conta. Ogni cifra ha 10 possibilità, quindi k cifre danno 10^k numeri: 1 su 1000 per tre cifre, 1 su 10.000 per quattro e 1 su 1.000.000 per sei. Questi valori si riferiscono a indovinare tutte le cifre nell’ordine esatto (la giocata «straight»).

Premi minori

Per indovinare esattamente m dei tuoi k numeri, conta i modi di scegliere m dei k numeri vincenti e k − m di quelli perdenti, poi dividi per tutte le combinazioni: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Per il 6/49:

Non indovinare nessuno dei sei numeri è il risultato più comune. La pagina di ogni lotteria, come quella del Lotto britannico o di Powerball, elenca le probabilità di ogni risultato per quel gioco.

Probabilità del jackpot di tutte le lotterie del sito

Queste sono le probabilità che una combinazione indovini tutti i numeri scelti da un giocatore, calcolate dal formato di ogni gioco come sopra. In ogni regione, il jackpot più facile viene per primo. Le probabilità più basse del sito sono quelle dei giochi 6 su 90, il SuperEnalotto e il Çılgın Sayısal Loto turco, con 1 su 622.614.630. Le probabilità più alte tra i giochi di lotto sono quelle del Mini Loto giapponese, 5 su 31, con 1 su 169.911, e i giochi a cifre sono ancora più facili.

Qualsiasi paese

Americhe

Europa

Asia

Oceania

Africa

Non sono inclusi i numeri bonus che la lotteria estrae ma che i giocatori non scelgono, i giochi aggiuntivi e le estrazioni abbinate, quindi la tabella dei premi di un operatore può elencare più categorie. Gli operatori indicano anche le «probabilità complessive» di vincere un premio qualsiasi, che sono molto più alte perché includono i premi più piccoli. I formati cambiano di tanto in tanto, e valgono sempre le regole ufficiali della tua lotteria.

Che cosa significa 1 su 292.201.338

Numeri così grandi sono difficili da immaginare. Ecco il jackpot del Powerball in termini più familiari:

• Tempo: giocando una combinazione a ogni estrazione, con tre estrazioni a settimana, dovresti aspettare in media circa 1,9 milioni di anni per un jackpot. Per un gioco 6/49 estratto due volte a settimana, l’attesa è di circa 134.000 anni.
• Secondi: ci sono circa 292.201.338 secondi in 9,3 anni. Vincere è come indovinare l’unico secondo scelto da qualcuno in tutto quel tempo.
• Monete: lanciare una moneta e ottenere testa 28 volte di fila ha una probabilità di 1 su 268.435.456, leggermente più alta di quella del jackpot.
• Tanti biglietti: 100 combinazioni a ogni estrazione per 50 anni fanno 780.000 combinazioni. La probabilità che una di queste vinca il jackpot è comunque solo di circa 1 su 375.

Perché 1-2-3-4-5-6 ha la stessa probabilità di qualsiasi altra combinazione

In un’estrazione equa ogni pallina ha la stessa probabilità di uscire, quindi ogni combinazione è ugualmente probabile: in un gioco 6/49, 1-2-3-4-5-6 ha esattamente la stessa probabilità, 1 su 13.983.816, di 3-17-22-30-41-48. Sembra meno probabile solo perché notiamo gli schemi. Ci sono poche combinazioni memorabili e milioni di combinazioni anonime, quindi a vincere è quasi sempre una combinazione anonima.

Per lo stesso motivo non esistono numeri «caldi» o «freddi». Un numero che non esce da mesi, per quanto «in ritardo», non ha più probabilità di uscire di qualsiasi altro, e uno uscito la settimana scorsa non ne ha di meno. La macchina non sa che cosa è successo nelle estrazioni precedenti.

La scelta dei numeri influisce su una sola cosa: con quante persone potresti dover dividere la vincita. Molti giocatori scelgono date di nascita (da 1 a 31), sequenze e figure sulla schedina, quindi se vince una combinazione del genere il jackpot viene spesso diviso tra più persone. Una combinazione estratta a caso evita queste abitudini umane. Non cambia la tua probabilità di vincere, ma può rendere meno probabile un jackpot condiviso. Puoi estrarne una con il generatore di numeri del lotto.

Valore atteso: quanto vale in media un biglietto

Il valore atteso di un biglietto è quanto renderebbe in media su un periodo molto lungo. Per ogni premio, moltiplica il premio per la probabilità di vincerlo, somma i risultati, poi sottrai il prezzo del biglietto.

Le lotterie sono pensate per pagare in premi meno di quanto incassano. Una parte di ogni biglietto copre la gestione del gioco, i rivenditori, le tasse e, in molti paesi, le cause benefiche. Per questo il valore atteso di un biglietto è negativo: in media rende meno di quanto costa. Un jackpot che si accumula alza il primo premio, ma le probabilità restano le stesse. I jackpot molto alti fanno anche vendere più biglietti, il che rende più probabile una vincita condivisa, e le tasse o l’opzione, più bassa, del pagamento in un’unica soluzione possono ridurre quanto viene pagato davvero.

Questa pagina spiega la matematica; non è una consulenza finanziaria. Se giochi, considera un biglietto come il prezzo di un po’ di divertimento, stabilisci un budget e non spendere mai soldi che non puoi permetterti di perdere. Le lotterie sono riservate agli adulti (18+, o l’età legale dove vivi).