Probabilidades das loterias comparadas

A chance de ganhar o prêmio principal de uma loteria é de 1 em N, sendo N o número de apostas diferentes que você poderia fazer. Num jogo em que você escolhe 6 números entre 49, existem 13.983.816 combinações possíveis, então uma aposta tem uma chance de 1 em 13.983.816. A mesma conta dá 1 em 292.201.338 na Powerball, 1 em 139.838.160 no Euromilhões e 1 em 45.057.474 no Lotto do Reino Unido.

O que significam as probabilidades da loteria

“1 em 13.983.816” significa que existem 13.983.816 resultados igualmente prováveis, e a sua aposta é um deles. Como probabilidade, isso é 1 ÷ 13.983.816, ou cerca de 0,0000072%. A rigor, um estatístico chamaria isso de probabilidade; a cotação contra seria de 13.983.815 para 1. As loterias divulgam números no formato “1 em”, e esta página também.

Disso decorrem duas coisas. Mais apostas melhoram a chance na mesma proporção: 10 apostas diferentes no mesmo sorteio 6/49 dão uma chance de 10 em 13.983.816, ou cerca de 1 em 1.398.382. E cada sorteio começa do zero: ter perdido na semana passada não aumenta a sua chance de ganhar nesta, porque as bolas não têm memória.

Como as probabilidades da loteria são calculadas

Escolher números de um único globo

Num jogo de loteria de números, a ordem não importa: 7-12-23-31-40-44 é a mesma aposta, seja qual for a bola que saiu primeiro. O número de maneiras de escolher k números entre n é o número de combinações, escrito C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

O “!” significa multiplicar todos os números inteiros até 1, então 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Num jogo 6/49, multiplique os seis números em contagem regressiva a partir de 49 e divida por 6! para eliminar as diferentes ordens em que as mesmas seis bolas podem aparecer:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Cada bola a mais no globo torna a chance menor. Escolher 6 entre 45 dá 8.145.060 combinações, enquanto 6 entre 59 dá 45.057.474, mais de cinco vezes mais.

Dois globos se multiplicam

Jogos como a Powerball e o Euromilhões sorteiam um segundo conjunto de bolas, separado. Cada combinação do primeiro globo pode ir com cada combinação do segundo, então as duas contagens se multiplicam:

• Powerball, 5 entre 69 mais 1 entre 26: C(69, 5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338.
• Euromilhões, 5 entre 50 mais 2 estrelas entre 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
• Mega Millions, 5 entre 70 mais 1 entre 24: C(70, 5) × 24 = 12.103.014 × 24 = 290.472.336.

O segundo globo explica boa parte do porquê de esses prêmios principais serem tão mais difíceis de ganhar que num jogo 6/49: uma única bola extra entre 26 divide a chance por 26.

Jogos de dígitos: 10 elevado ao número de dígitos

No Pick 3, no Pick 4, no 4D e na Loteria do Governo da Tailândia, cada dígito vai de 0 a 9 e é sorteado separadamente, então um dígito pode se repetir e a ordem importa. Cada dígito tem 10 possibilidades, então k dígitos dão 10^k números: 1 em 1.000 com três dígitos, 1 em 10.000 com quatro e 1 em 1.000.000 com seis. Esses números valem para acertar todos os dígitos na ordem exata (uma aposta “straight”).

Prêmios menores

Para acertar exatamente m dos seus k números, conte as maneiras de escolher m dos k números sorteados e k − m dos não sorteados, e divida pelo total de combinações: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Num 6/49:

Não acertar nenhum dos seis é o resultado mais comum. A página de cada loteria, como a do Lotto do Reino Unido ou a da Powerball, mostra a chance de cada acerto naquele jogo.

Chance do prêmio principal de cada loteria deste site

Estas são as chances de uma aposta acertar todos os números que o jogador escolhe, calculadas a partir do formato de cada jogo, como explicado acima. Dentro de cada região, o prêmio principal mais fácil vem primeiro. As menores chances do site são as dos jogos de 6 entre 90, o SuperEnalotto e o Çılgın Sayısal Loto da Turquia, com 1 em 622.614.630. A maior chance entre as loterias de números é a do Mini Loto do Japão, 5 entre 31, com 1 em 169.911, e os jogos de dígitos são ainda mais fáceis.

Qualquer país

Américas

Europa

Ásia

Oceania

África

Não estão incluídos os números bônus que a loteria sorteia, mas que os jogadores não escolhem, nem os jogos complementares e as rifas, então a tabela de prêmios de um operador pode ter mais faixas. Os operadores também divulgam uma “chance geral” de ganhar qualquer prêmio, que é bem maior porque inclui os prêmios menores. Os formatos mudam de tempos em tempos, e as regras oficiais da sua loteria sempre prevalecem.

Como é uma chance de 1 em 292.201.338

Números tão grandes são difíceis de imaginar. Veja o prêmio principal da Powerball em termos mais familiares:

• Tempo: jogando uma aposta em cada sorteio, três sorteios por semana, você esperaria cerca de 1,9 milhão de anos para ganhar o prêmio principal. Num jogo 6/49 sorteado duas vezes por semana, a espera é de cerca de 134.000 anos.
• Segundos: há cerca de 292.201.338 segundos em 9,3 anos. Ganhar é como adivinhar o segundo que alguém escolheu em todo esse tempo.
• Moedas: jogar uma moeda e tirar cara 28 vezes seguidas é 1 em 268.435.456, um pouco mais provável que o prêmio principal.
• Muitas apostas: 100 apostas em cada sorteio durante 50 anos são 780.000 apostas. A chance de alguma delas ganhar o prêmio principal ainda é de apenas cerca de 1 em 375.

Por que 1-2-3-4-5-6 tem a mesma chance que qualquer outra aposta

Num sorteio justo, toda bola tem a mesma chance de sair, então toda combinação tem a mesma chance: num jogo 6/49, 1-2-3-4-5-6 tem exatamente a mesma chance de 1 em 13.983.816 que 3-17-22-30-41-48. Ela só parece menos provável porque reparamos em padrões. Existem umas poucas apostas fáceis de lembrar e milhões de apostas sem graça, então quase sempre ganha uma sem graça.

Pelo mesmo motivo, não existem números “quentes” nem “frios”. Um número que não sai há meses, o famoso número “atrasado”, não tem mais chance de sair que qualquer outro, e um que saiu na semana passada não tem menos chance. A máquina não sabe o que aconteceu nos sorteios anteriores.

A escolha dos números influencia uma coisa: com quantas pessoas você talvez tenha de dividir o prêmio. Muitos jogadores escolhem datas de aniversário (de 1 a 31), sequências e desenhos no volante, então, se uma aposta assim ganha, o prêmio principal muitas vezes é dividido entre mais pessoas. Uma aposta sorteada ao acaso evita esses hábitos humanos. Ela não muda a sua chance de ganhar, mas pode tornar menos provável ter de dividir o prêmio. Você pode sortear uma com o gerador de números de loteria.

Valor esperado: quanto vale uma aposta, em média

O valor esperado de uma aposta é o que ela devolveria, em média, num prazo muito longo. Para cada prêmio, multiplique o prêmio pela chance de ganhá-lo, some os resultados e depois subtraia o preço da aposta.

As loterias são feitas para pagar em prêmios menos do que arrecadam. Parte de cada aposta paga a operação do jogo, os pontos de venda, os impostos e, em muitos países, causas sociais. Por isso o valor esperado de uma aposta é negativo: em média, ela devolve menos do que custa. Um prêmio acumulado aumenta o prêmio principal, mas as chances continuam as mesmas. Prêmios grandes também vendem mais apostas, o que torna mais provável ter de dividir o prêmio, e os impostos ou uma opção de pagamento à vista menor podem reduzir o valor realmente pago.

Esta página explica a matemática; não é uma recomendação financeira. Se você joga, encare uma aposta como o preço de um pouco de diversão, defina um orçamento e nunca gaste um dinheiro que você não pode perder. Loterias são só para adultos (maiores de 18 anos, ou da idade legal onde você mora).