Πιθανότητες λοταρίας σε σύγκριση

Η πιθανότητα να κερδίσεις το τζακ ποτ μιας λοταρίας είναι 1 στο πλήθος των διαφορετικών στηλών που θα μπορούσες να παίξεις. Σε ένα παιχνίδι όπου διαλέγεις 6 αριθμούς από τους 49 υπάρχουν 13.983.816 δυνατοί συνδυασμοί, οπότε μία στήλη έχει πιθανότητα 1 στα 13.983.816. Με τον ίδιο υπολογισμό βγαίνει 1 στα 292.201.338 για το Powerball, 1 στα 139.838.160 για το EuroMillions και 1 στα 45.057.474 για το Lotto Ηνωμένου Βασιλείου.

Τι σημαίνουν οι πιθανότητες λοταρίας

Το «1 στα 13.983.816» σημαίνει ότι υπάρχουν 13.983.816 εξίσου πιθανά αποτελέσματα και η στήλη σου είναι ένα από αυτά. Ως πιθανότητα, αυτό είναι 1 ÷ 13.983.816, δηλαδή περίπου 0,0000072%. Αυστηρά μιλώντας, ένας στατιστικός θα το ονόμαζε πιθανότητα· ο λόγος πιθανοτήτων κατά (odds against) θα ήταν 13.983.815 προς 1. Οι λοταρίες δίνουν τις πιθανότητες στη μορφή «1 στα», και το ίδιο κάνει αυτή η σελίδα.

Από αυτό προκύπτουν δύο πράγματα. Περισσότερες στήλες σημαίνουν αναλογικά καλύτερες πιθανότητες: 10 διαφορετικές στήλες στην ίδια κλήρωση 6/49 δίνουν πιθανότητα 10 στα 13.983.816, δηλαδή περίπου 1 στα 1.398.382. Και κάθε κλήρωση ξεκινά από την αρχή: το ότι έχασες την προηγούμενη εβδομάδα δεν σε κάνει πιο πιθανό νικητή αυτή την εβδομάδα, γιατί οι μπάλες δεν έχουν μνήμη.

Πώς υπολογίζονται οι πιθανότητες λοταρίας

Επιλογή αριθμών από μία ομάδα

Σε ένα παιχνίδι λόττο η σειρά των αριθμών δεν έχει σημασία: το 7-12-23-31-40-44 είναι η ίδια στήλη, όποια μπάλα κι αν βγήκε πρώτη. Το πλήθος των τρόπων να διαλέξεις k αριθμούς από n είναι το πλήθος των συνδυασμών, που γράφεται C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Το «!» (παραγοντικό) σημαίνει ότι πολλαπλασιάζεις κάθε ακέραιο μέχρι το 1, άρα 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Για ένα παιχνίδι 6/49, πολλαπλασιάζεις τους έξι αριθμούς μετρώντας αντίστροφα από το 49 και μετά διαιρείς με το 6!, για να αφαιρέσεις τις διαφορετικές σειρές με τις οποίες μπορούν να εμφανιστούν οι ίδιες έξι μπάλες:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Κάθε επιπλέον μπάλα στην ομάδα κάνει τις πιθανότητες χειρότερες. Με 6 από 45 υπάρχουν 8.145.060 συνδυασμοί, ενώ με 6 από 59 υπάρχουν 45.057.474, πάνω από πέντε φορές περισσότεροι.

Δύο ομάδες πολλαπλασιάζονται

Παιχνίδια όπως το Powerball και το EuroMillions κληρώνουν και μια δεύτερη, ξεχωριστή ομάδα μπαλών. Κάθε συνδυασμός της πρώτης ομάδας μπορεί να συνδυαστεί με κάθε συνδυασμό της δεύτερης, οπότε τα δύο πλήθη πολλαπλασιάζονται:

• Powerball, 5 από 69 συν 1 από 26: C(69, 5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338.
• EuroMillions, 5 από 50 συν 2 Τυχερά αστέρια από 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
• Mega Millions, 5 από 70 συν 1 από 24: C(70, 5) × 24 = 12.103.014 × 24 = 290.472.336.

Η δεύτερη ομάδα είναι ένας σημαντικός λόγος που αυτά τα τζακ ποτ κερδίζονται τόσο πιο δύσκολα από ένα παιχνίδι 6/49: μία επιπλέον μπάλα από 26 πολλαπλασιάζει τους συνδυασμούς επί 26.

Παιχνίδια ψηφίων: το 10 υψωμένο στο πλήθος των ψηφίων

Στο Pick 3, στο Pick 4, στο 4D και στο Κρατικό Λαχείο της Ταϊλάνδης, κάθε ψηφίο είναι από 0 έως 9 και κληρώνεται χωριστά, οπότε ένα ψηφίο μπορεί να επαναληφθεί και η σειρά μετράει. Κάθε ψηφίο έχει 10 δυνατές τιμές, άρα k ψηφία δίνουν 10^k αριθμούς: 1 στα 1.000 για τρία ψηφία, 1 στα 10.000 για τέσσερα και 1 στα 1.000.000 για έξι. Αυτές οι πιθανότητες αφορούν την επιτυχία όλων των ψηφίων με την ακριβή σειρά (στοίχημα «straight»).

Μικρότερα κέρδη

Για να πετύχεις ακριβώς m από τους k αριθμούς σου, μέτρα τους τρόπους να διαλέξεις m από τους k αριθμούς της κλήρωσης και k − m από τους υπόλοιπους, και μετά διαίρεσε με το σύνολο των συνδυασμών: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Για το 6/49:

Το πιο συνηθισμένο αποτέλεσμα είναι να μην πετύχεις κανέναν από τους έξι. Η σελίδα κάθε λοταρίας, όπως το Lotto Ηνωμένου Βασιλείου ή το Powerball, δείχνει τις πιθανότητες κάθε επιτυχίας για το συγκεκριμένο παιχνίδι.

Οι πιθανότητες τζακ ποτ για κάθε λοταρία του ιστότοπου

Αυτές είναι οι πιθανότητες να πετύχει μία στήλη όλους τους αριθμούς που διαλέγει ο παίκτης, υπολογισμένες από τη μορφή κάθε παιχνιδιού όπως παραπάνω. Σε κάθε περιοχή, πρώτο εμφανίζεται το πιο εύκολο τζακ ποτ. Τις πιο δύσκολες πιθανότητες του ιστότοπου έχουν τα παιχνίδια 6 από 90, το SuperEnalotto και το Çılgın Sayısal Loto της Τουρκίας, με 1 στα 622.614.630. Τις πιο εύκολες πιθανότητες λόττο έχει το Mini Loto της Ιαπωνίας, 5 από 31, με 1 στα 169.911, και τα παιχνίδια ψηφίων είναι ακόμη πιο εύκολα.

Οποιαδήποτε χώρα

Αμερική

Ευρώπη

Ασία

Ωκεανία

Αφρική

Δεν περιλαμβάνονται οι μπάλες μπόνους που κληρώνει η λοταρία αλλά δεν διαλέγουν οι παίκτες, τα πρόσθετα παιχνίδια και οι κληρώσεις δώρων, οπότε ο πίνακας κερδών ενός φορέα μπορεί να έχει περισσότερες κατηγορίες. Οι φορείς αναφέρουν επίσης τη «συνολική πιθανότητα» να κερδίσεις οποιοδήποτε κέρδος, η οποία είναι πολύ μεγαλύτερη επειδή περιλαμβάνει και τα μικρότερα κέρδη. Οι μορφές αλλάζουν κατά καιρούς, και ισχύουν πάντα οι επίσημοι κανόνες της λοταρίας σου.

Τι σημαίνει στην πράξη το 1 στα 292.201.338

Τόσο μεγάλους αριθμούς είναι δύσκολο να τους φανταστείς. Ορίστε το τζακ ποτ του Powerball με πιο οικείους όρους:

• Χρόνος: αν παίζεις μία στήλη σε κάθε κλήρωση, τρεις κληρώσεις την εβδομάδα, θα περίμενες κατά μέσο όρο περίπου 1,9 εκατομμύρια χρόνια για ένα τζακ ποτ. Για ένα παιχνίδι 6/49 με δύο κληρώσεις την εβδομάδα, η αναμονή είναι περίπου 134.000 χρόνια.
• Δευτερόλεπτα: 292.201.338 δευτερόλεπτα είναι περίπου 9,3 χρόνια. Το να κερδίσεις μοιάζει με το να μαντέψεις το ένα δευτερόλεπτο που διάλεξε κάποιος μέσα σε όλο αυτό το διάστημα.
• Κέρματα: αν στρίψεις ένα κέρμα και φέρεις κορόνα 28 φορές στη σειρά, η πιθανότητα είναι 1 στα 268.435.456, δηλαδή λίγο πιο πιθανό από το τζακ ποτ.
• Πολλά δελτία: 100 στήλες σε κάθε κλήρωση για 50 χρόνια κάνουν 780.000 στήλες. Η πιθανότητα να κερδίσει έστω και μία από αυτές το τζακ ποτ είναι και πάλι μόνο περίπου 1 στα 375.

Γιατί το 1-2-3-4-5-6 έχει τις ίδιες πιθανότητες με οποιαδήποτε άλλη στήλη

Σε μια δίκαιη κλήρωση κάθε μπάλα έχει την ίδια πιθανότητα να βγει, άρα κάθε συνδυασμός είναι εξίσου πιθανός: σε ένα παιχνίδι 6/49 το 1-2-3-4-5-6 έχει ακριβώς την ίδια πιθανότητα, 1 στα 13.983.816, με το 3-17-22-30-41-48. Μοιάζει λιγότερο πιθανό μόνο επειδή προσέχουμε τα μοτίβα. Υπάρχουν λίγες στήλες που μένουν στο μυαλό και εκατομμύρια που ξεχνιούνται, οπότε σχεδόν πάντα κερδίζει μια στήλη που δεν θα θυμόταν κανείς.

Για τον ίδιο λόγο δεν υπάρχουν «ζεστοί» ή «κρύοι» αριθμοί. Ένας αριθμός που δεν έχει βγει εδώ και μήνες δεν «χρωστάει» περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο, και ένας που βγήκε την προηγούμενη εβδομάδα δεν είναι λιγότερο πιθανός. Η κληρωτίδα δεν ξέρει τι έγινε στις προηγούμενες κληρώσεις.

Η επιλογή των αριθμών σου επηρεάζει ένα μόνο πράγμα: με πόσους μπορεί να χρειαστεί να μοιραστείς. Πολλοί παίκτες διαλέγουν γενέθλια (1 έως 31), ακολουθίες και σχήματα πάνω στο δελτίο, οπότε αν κερδίσει μια τέτοια στήλη, το τζακ ποτ συχνά μοιράζεται σε περισσότερους. Μια στήλη που κληρώθηκε στην τύχη αποφεύγει αυτές τις ανθρώπινες συνήθειες. Δεν αλλάζει την πιθανότητά σου να κερδίσεις, αλλά μπορεί να κάνει λιγότερο πιθανό ένα μοιρασμένο τζακ ποτ. Μπορείς να βγάλεις μία με τη γεννήτρια αριθμών λοταρίας.

Αναμενόμενη αξία: πόσο αξίζει κατά μέσο όρο ένα δελτίο

Η αναμενόμενη αξία ενός δελτίου είναι το ποσό που θα επέστρεφε κατά μέσο όρο σε πολύ μεγάλο βάθος χρόνου. Για κάθε κέρδος, πολλαπλασίασε το ποσό του με την πιθανότητα να το κερδίσεις, πρόσθεσε τα αποτελέσματα και μετά αφαίρεσε την τιμή του δελτίου.

Οι λοταρίες είναι σχεδιασμένες να μοιράζουν σε κέρδη λιγότερα από όσα εισπράττουν. Ένα μέρος από κάθε δελτίο πληρώνει τη λειτουργία του παιχνιδιού, τα πρακτορεία, τους φόρους και, σε πολλές χώρες, κοινωφελείς σκοπούς. Γι’ αυτό η αναμενόμενη αξία ενός δελτίου είναι αρνητική: κατά μέσο όρο επιστρέφει λιγότερα από όσα κοστίζει. Ένα τζακ ποτ που μεταφέρεται ανεβάζει το πρώτο κέρδος, αλλά οι πιθανότητες μένουν ίδιες. Τα μεγάλα τζακ ποτ πουλάνε επίσης περισσότερα δελτία, κάτι που κάνει πιο πιθανό ένα μοιρασμένο κέρδος, και οι φόροι ή μια μικρότερη εφάπαξ πληρωμή μπορεί να μειώσουν το ποσό που πληρώνεται τελικά.

Αυτή η σελίδα εξηγεί τα μαθηματικά· δεν είναι οικονομική συμβουλή. Αν παίζεις, δες ένα δελτίο ως το κόστος μιας ψυχαγωγίας, όρισε ένα όριο, και μην ξοδεύεις ποτέ χρήματα που δεν έχεις την πολυτέλεια να χάσεις. Οι λοταρίες είναι μόνο για ενήλικες (18+ ή η νόμιμη ηλικία εκεί που ζεις).