Шансы на выигрыш в лотереях: сравнение

Шанс выиграть джекпот в лотерее — это 1 из числа разных билетов, которые можно купить. В игре, где нужно выбрать 6 чисел из 49, существует 13 983 816 возможных комбинаций, поэтому у одной комбинации шанс 1 из 13 983 816. Тот же подсчёт даёт 1 из 292 201 338 для Powerball, 1 из 139 838 160 для EuroMillions и 1 из 45 057 474 для Lotto Великобритании.

Что означают шансы в лотерее

«1 из 13 983 816» означает, что существует 13 983 816 равновероятных исходов и ваша комбинация — один из них. В виде вероятности это 1 ÷ 13 983 816, или около 0,0000072 %. Строго говоря, статистик назвал бы это вероятностью, а шансы против выигрыша составили бы 13 983 815 к 1. Лотереи пишут «1 из», и эта страница тоже.

Отсюда следуют две вещи. Больше комбинаций — пропорционально выше шанс: 10 разных комбинаций в одном тираже 6/49 дают шанс 10 из 13 983 816, то есть примерно 1 из 1 398 382. И каждый тираж начинается с чистого листа: проигрыш на прошлой неделе не повышает шансы выиграть на этой, потому что у шаров нет памяти.

Как рассчитываются шансы в лотерее

Выбор чисел из одного поля

В лото порядок чисел не важен: 7-12-23-31-40-44 — одна и та же комбинация, какой бы шар ни выпал первым. Число способов выбрать k чисел из n — это число сочетаний, которое записывается как C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Знак «!» означает, что нужно перемножить все целые числа вниз до 1, так что 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Для игры 6/49 перемножьте шесть чисел, отсчитывая вниз от 49, а затем разделите на 6!, чтобы убрать разные порядки, в которых могут выпасть одни и те же шесть шаров:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10 068 347 520 ÷ 720 = 13 983 816

Каждый лишний шар в поле снижает шансы. Выбор 6 из 45 даёт 8 145 060 комбинаций, а 6 из 59 — 45 057 474, то есть в пять с лишним раз больше.

Два поля перемножаются

В таких играх, как Powerball и EuroMillions, разыгрывается второй, отдельный набор шаров. Любая комбинация первого поля может сочетаться с любой комбинацией второго, поэтому оба количества перемножаются:

• Powerball, 5 из 69 плюс 1 из 26: C(69, 5) × 26 = 11 238 513 × 26 = 292 201 338.
• EuroMillions, 5 из 50 плюс 2 «звезды» из 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160.
• Mega Millions, 5 из 70 плюс 1 из 24: C(70, 5) × 24 = 12 103 014 × 24 = 290 472 336.

Во многом именно из-за второго поля эти джекпоты выиграть гораздо труднее, чем в игре 6/49: один дополнительный шар из 26 делает выигрыш в 26 раз менее вероятным.

Игры с цифрами: 10 в степени числа цифр

В Pick 3, Pick 4, 4D и Государственной лотерее Таиланда каждая цифра — от 0 до 9 и разыгрывается отдельно, поэтому цифры могут повторяться, а порядок важен. У каждой цифры 10 вариантов, поэтому k цифр дают 10^k чисел: 1 из 1 000 для трёх цифр, 1 из 10 000 для четырёх и 1 из 1 000 000 для шести. Эти значения относятся к совпадению всех цифр в точном порядке (ставка «straight»).

Меньшие призы

Чтобы угадать ровно m из ваших k чисел, посчитайте, сколькими способами можно выбрать m из k выигрышных чисел и k − m из невыигрышных, а затем разделите на число всех комбинаций: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Для 6 из 49:

Самый частый результат — ни одного совпадения из шести. На странице каждой лотереи, например Lotto Великобритании или Powerball, указаны шансы каждого совпадения в этой игре.

Шансы на джекпот во всех лотереях сайта

Это шансы того, что одна комбинация совпадёт по всем числам, которые выбирает игрок; они рассчитаны по формату каждой игры, как описано выше. В каждом регионе первым идёт самый лёгкий джекпот. Самые низкие шансы на сайте, 1 из 622 614 630, у игр формата «6 из 90»: SuperEnalotto и турецкой лотереи Çılgın Sayısal Loto. Самые высокие шансы среди лото — у японской лотереи Mini Loto (5 из 31): 1 из 169 911, а в играх с цифрами шансы ещё выше.

Любая страна

Америка

Европа

Азия

Океания

Африка

Бонусные шары, которые лотерея вытягивает, но игроки не выбирают, дополнительные игры и дополнительные розыгрыши здесь не учитываются, поэтому в таблице выигрышей оператора может быть больше категорий. Операторы также указывают «общие шансы» выиграть хоть какой-то приз — они намного выше, потому что включают самые мелкие призы. Форматы время от времени меняются, и всегда действуют официальные правила вашей лотереи.

Каково это — 1 из 292 201 338

Такие большие числа трудно представить. Вот джекпот Powerball в более привычных мерках:

• Время: если играть одной комбинацией в каждом тираже, по три тиража в неделю, джекпота пришлось бы ждать в среднем около 1,9 млн лет. В игре 6/49 с двумя тиражами в неделю ожидание составит около 134 000 лет.
• Секунды: в 9,3 года примерно 292 201 338 секунд. Выиграть — всё равно что угадать одну секунду, которую кто-то выбрал из всего этого времени.
• Монеты: подбросить монету и получить орла 28 раз подряд — это 1 из 268 435 456, то есть чуть более вероятно, чем джекпот.
• Много билетов: 100 комбинаций в каждом тираже на протяжении 50 лет — это 780 000 комбинаций. Шанс, что хоть одна из них выиграет джекпот, всё равно лишь около 1 из 375.

Почему у 1-2-3-4-5-6 такие же шансы, как у любой другой комбинации

В честном тираже каждый шар выпадает с одинаковой вероятностью, поэтому все комбинации равновероятны: у 1-2-3-4-5-6 в игре 6/49 ровно такой же шанс 1 из 13 983 816, как у 3-17-22-30-41-48. Такая комбинация кажется менее вероятной только потому, что мы замечаем закономерности. Запоминающихся комбинаций немного, а ничем не примечательных — миллионы, поэтому почти всегда выигрывает ничем не примечательная.

По той же причине не бывает «горячих» и «холодных» чисел. Числу, которое не выпадало несколько месяцев, не «пора» выпасть больше, чем любому другому, а число, выпавшее на прошлой неделе, не стало менее вероятным. Лототрон не знает, что было в прошлых тиражах.

Ваш выбор чисел влияет только на одно: со сколькими людьми, возможно, придётся делить выигрыш. Многие игроки выбирают дни рождения (от 1 до 31), последовательности и узоры на билете, поэтому, если выиграет такая комбинация, джекпот часто делят на большее число частей. Случайная комбинация обходит эти человеческие привычки. Шанс выиграть она не меняет, но может снизить вероятность того, что джекпот придётся делить. Такую комбинацию можно разыграть с помощью генератора чисел для лотереи.

Математическое ожидание: сколько в среднем стоит билет

Математическое ожидание билета — это то, сколько он в среднем возвращал бы на очень длинной дистанции. Для каждого приза умножьте размер приза на шанс его выиграть, сложите результаты и вычтите цену билета.

Лотереи устроены так, что выплачивают призами меньше, чем собирают. Часть стоимости каждого билета идёт на проведение игры, продавцам, на налоги, а во многих странах — на благие цели. Поэтому математическое ожидание билета отрицательное: в среднем он возвращает меньше, чем стоит. Джекпот, который копится из тиража в тираж, увеличивает главный приз, но шансы остаются прежними. Кроме того, при больших джекпотах продаётся больше билетов, отчего выше вероятность делить выигрыш, а налоги или меньшая единовременная выплата могут уменьшить сумму, которую получают на самом деле.

Эта страница объясняет математику и не является финансовой консультацией. Если играете, считайте билет платой за развлечение, установите бюджет и никогда не тратьте деньги, потерю которых не можете себе позволить. Лотереи — только для взрослых (18+ или с возраста, установленного законом в вашей стране).