مقارنة احتمالات الفوز باليانصيب

احتمال الفوز بالجائزة الكبرى في اليانصيب هو 1 من عدد التذاكر المختلفة التي يمكنك شراؤها. ففي لعبة تختار فيها 6 أرقام من 49، هناك 13,983,816 توليفة ممكنة، لذا فلكل تشكيلة احتمال 1 من 13,983,816. والحساب نفسه يعطي 1 من 292,201,338 في Powerball، و1 من 139,838,160 في EuroMillions، و1 من 45,057,474 في اللوتو البريطاني.

ماذا تعني احتمالات اليانصيب

عبارة «1 من 13,983,816» تعني أن هناك 13,983,816 نتيجة متساوية الاحتمال، وتشكيلتك واحدة منها. وكاحتمال رياضي، فهذا يساوي 1 ÷ 13,983,816، أي نحو 0.0000072%. وبدقة أكبر، يسمّي الإحصائي ذلك الاحتمال؛ أما نسبة الأرجحية ضد الفوز فهي 13,983,815 مقابل 1. وتذكر جهات اليانصيب أرقامًا بصيغة «1 من»، وكذلك تفعل هذه الصفحة.

ويترتب على ذلك أمران. زيادة عدد التشكيلات تحسّن الاحتمال بالنسبة نفسها: 10 تشكيلات مختلفة في سحب 6/49 نفسه تعطي فرصة 10 من 13,983,816، أي نحو 1 من 1,398,382. وكل سحب يبدأ من جديد: خسارتك الأسبوع الماضي لا تزيد فرصتك في الفوز هذا الأسبوع، لأن الكرات لا ذاكرة لها.

كيف تُحسب احتمالات اليانصيب

اختيار أرقام من مجموعة واحدة

في لعبة اللوتو لا يهم ترتيب الأرقام: 7-12-23-31-40-44 هي التشكيلة نفسها أيًّا كانت الكرة التي خرجت أولًا. وعدد طرق اختيار k من الأرقام من أصل n هو عدد التوافيق، ويُكتب C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

وعلامة «!» تعني ضرب كل الأعداد الصحيحة نزولًا حتى 1، فيكون 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. وفي لعبة 6/49، اضرب الأعداد الستة التنازلية بدءًا من 49، ثم اقسم الناتج على 6! لحذف الترتيبات المختلفة التي يمكن أن تظهر بها الكرات الست نفسها:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10,068,347,520 ÷ 720 = 13,983,816

كل كرة إضافية في المجموعة تجعل الاحتمال أضعف. فاختيار 6 من 45 يعطي 8,145,060 توليفة، بينما يعطي اختيار 6 من 59 45,057,474، أي أكثر من خمسة أضعاف.

مع مجموعتين، تُضرب الأعداد

تسحب ألعاب مثل Powerball وEuroMillions مجموعة ثانية منفصلة من الكرات. ويمكن لكل توليفة من المجموعة الأولى أن تقترن بكل توليفة من الثانية، لذا يُضرب العددان أحدهما في الآخر:

• Powerball، 5 من 69 مع 1 من 26: C(69, 5) × 26 = 11,238,513 × 26 = 292,201,338.
• EuroMillions، 5 من 50 مع نجمتي حظ من 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2,118,760 × 66 = 139,838,160.
• Mega Millions، 5 من 70 مع 1 من 24: C(70, 5) × 24 = 12,103,014 × 24 = 290,472,336.

والمجموعة الثانية سبب رئيسي في أن الفوز بهذه الجوائز الكبرى أصعب بكثير منه في لعبة 6/49: فكرة إضافية واحدة من 26 تضرب الاحتمال في 26.

ألعاب الخانات: 10 أُسّ عدد الخانات

في Pick 3 وPick 4 و4D واليانصيب الحكومي التايلاندي، تكون كل خانة من 0 إلى 9 وتُسحب على حدة، لذا يمكن أن يتكرر الرقم والترتيب مهم. ولكل خانة 10 احتمالات، فتعطي k من الخانات 10^k من الأعداد: 1 من 1,000 لثلاث خانات، و1 من 10,000 لأربع، و1 من 1,000,000 لست. وهذه الأرقام لمطابقة كل الخانات بالترتيب نفسه تمامًا (رهان «مستقيم» أو straight).

الجوائز الأصغر

لمطابقة m بالضبط من أرقامك الـk، احسب طرق اختيار m من الأرقام الفائزة الـk وk − m من الأرقام غير الفائزة، ثم اقسم على عدد التوافيق كلها: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). وفي لعبة 6/49:

وعدم مطابقة أي من الأرقام الستة هو النتيجة الأكثر شيوعًا. وتعرض صفحة كل لعبة، مثل اللوتو البريطاني أو Powerball، احتمال كل مطابقة في تلك اللعبة.

احتمالات الجائزة الكبرى لكل ألعاب اليانصيب في هذا الموقع

هذه احتمالات أن تطابق تشكيلة واحدة كل الأرقام التي يختارها اللاعب، محسوبةً من صيغة كل لعبة كما سبق. وفي كل منطقة، تأتي الجائزة الكبرى الأسهل أولًا. وأضعف الاحتمالات في الموقع تخص ألعاب 6 من 90، أي SuperEnalotto ولعبة Çılgın Sayısal Loto التركية، بواقع 1 من 622,614,630. أما أعلى احتمالات اللوتو فهي في Mini Loto اليابانية، 5 من 31، بواقع 1 من 169,911، وألعاب الخانات أعلى منها احتمالًا.

أي بلد

الأمريكتان

أوروبا

آسيا

أوقيانوسيا

أفريقيا

الكرات الإضافية التي تسحبها جهة اليانصيب ولا يختارها اللاعبون، والألعاب الإضافية والقرعات، غير محتسبة، لذا قد يذكر جدول الجوائز لدى الجهة المشغّلة فئات أكثر. كما تذكر الجهات المشغّلة «الاحتمال الإجمالي» للفوز بأي جائزة، وهو أعلى بكثير لأنه يشمل أصغر الجوائز. وتتغير الصيغ من حين إلى آخر، والقواعد الرسمية لليانصيب الذي تلعب فيه هي المعتمدة دائمًا.

كيف يبدو احتمال 1 من 292,201,338

من الصعب تخيّل أعداد بهذا الحجم. إليك الجائزة الكبرى في Powerball بمقاييس مألوفة أكثر:

• الوقت: إذا لعبت تشكيلة واحدة في كل سحب، بواقع ثلاثة سحوبات أسبوعيًا، فعليك أن تتوقع انتظار نحو 1.9 مليون سنة للفوز بالجائزة الكبرى. وفي لعبة 6/49 تُسحب مرتين أسبوعيًا، يبلغ الانتظار نحو 134,000 سنة.
• الثواني: هناك نحو 292,201,338 ثانية في 9.3 سنة. والفوز يشبه تخمين الثانية الوحيدة التي اختارها شخص ما من كل هذا الوقت.
• العملات: رمي عملة والحصول على الصورة 28 مرة متتالية احتماله 1 من 268,435,456، أي أنه أرجح قليلًا من الجائزة الكبرى.
• تذاكر كثيرة: 100 تشكيلة في كل سحب لمدة 50 عامًا تساوي 780,000 تشكيلة. ومع ذلك يبقى احتمال أن تفوز أي منها بالجائزة الكبرى نحو 1 من 375 فقط.

لماذا لتشكيلة 1-2-3-4-5-6 الاحتمال نفسه الذي لأي تشكيلة أخرى

في السحب النزيه، لكل كرة الفرصة نفسها للخروج، لذا فلكل توليفة الفرصة نفسها: لتشكيلة 1-2-3-4-5-6 الاحتمال نفسه تمامًا، 1 من 13,983,816، في لعبة 6/49 مثل 3-17-22-30-41-48. وهي تبدو أقل احتمالًا فقط لأننا نلاحظ الأنماط. فهناك قلة من التشكيلات اللافتة وملايين من التشكيلات العادية، لذا تفوز في الغالب تشكيلة عادية لا تلفت النظر.

وللسبب نفسه لا توجد أرقام «ساخنة» أو «باردة». فالرقم الذي لم يظهر منذ أشهر ليس أقرب إلى الظهور من غيره، والرقم الذي ظهر الأسبوع الماضي ليس أقل احتمالًا. فالآلة لا تعرف ما حدث في السحوبات السابقة.

لكن اختيارك للأرقام يؤثر في أمر واحد: عدد من قد تتقاسم معهم الجائزة. فكثير من اللاعبين يختارون تواريخ الميلاد (من 1 إلى 31) والتسلسلات والأنماط على التذكرة، لذا إذا فازت تشكيلة كهذه، كثيرًا ما تُقسم الجائزة الكبرى على عدد أكبر من الفائزين. والتشكيلة المسحوبة عشوائيًا تتجنب هذه العادات البشرية. وهي لا تغيّر فرصتك في الفوز، لكنها قد تقلّل احتمال أن تتقاسم الجائزة الكبرى مع غيرك. ويمكنك سحب واحدة باستخدام مولّد أرقام اليانصيب.

القيمة المتوقعة: كم تساوي التذكرة في المتوسط

القيمة المتوقعة للتذكرة هي ما تعيده في المتوسط على المدى الطويل جدًا. فلكل جائزة، اضرب قيمة الجائزة في احتمال الفوز بها، واجمع النتائج، ثم اطرح سعر التذكرة.

تُصمَّم ألعاب اليانصيب لتدفع جوائز أقل مما تجمعه. فجزء من ثمن كل تذكرة يغطي تكاليف تشغيل اللعبة ونقاط البيع والضرائب، وفي بلدان كثيرة القضايا الخيرية. لذا فالقيمة المتوقعة للتذكرة سالبة: فهي في المتوسط تعيد أقل من ثمنها. والجائزة الكبرى المتراكمة ترفع قيمة الجائزة الأولى، لكن الاحتمالات تبقى كما هي. كما أن الجوائز الكبرى الضخمة تبيع تذاكر أكثر، ما يزيد احتمال اقتسام الفوز، وقد تقلّل الضرائب أو خيار الدفعة الواحدة الأصغر ما يُدفع فعلًا.

تشرح هذه الصفحة الرياضيات؛ وليست نصيحة مالية. وإذا لعبت، فاعتبر التذكرة ثمنًا لشيء من التسلية، وحدّد ميزانية، ولا تنفق أبدًا مالًا لا تستطيع تحمّل خسارته. اليانصيب للبالغين فقط (18 عامًا فأكثر، أو السن القانونية حيث تقيم).