Порівняння шансів у лотереях

Шанс виграти джекпот у лотереї — це 1 на кількість різних квитків, які можна купити. У грі, де треба вибрати 6 чисел із 49, існує 13 983 816 можливих комбінацій, тож одна комбінація має шанс 1 на 13 983 816. Так само рахують і 1 на 292 201 338 для Powerball, 1 на 139 838 160 для EuroMillions і 1 на 45 057 474 для Lotto Великої Британії.

Що означають шанси в лотереї

«1 на 13 983 816» означає, що існує 13 983 816 рівноймовірних результатів і ваша комбінація — один із них. Як імовірність це 1 ÷ 13 983 816, або приблизно 0,0000072%. Строго кажучи, статистик назвав би це ймовірністю, а шанси проти виграшу становили б 13 983 815 до 1. Лотереї наводять цифри у форматі «1 на», і ця сторінка теж.

Із цього випливають дві речі. Більше комбінацій — пропорційно кращі шанси: 10 різних комбінацій в одному розіграші 6/49 дають шанс 10 на 13 983 816, тобто приблизно 1 на 1 398 382. І кожен розіграш починається з чистого аркуша: якщо ви програли минулого тижня, це не збільшує ваших шансів виграти цього тижня, бо кульки не мають пам’яті.

Як обчислюють шанси в лотереї

Вибір чисел з одного поля

У лото порядок чисел не має значення: 7-12-23-31-40-44 — це та сама комбінація, хоч би яка кулька випала першою. Кількість способів вибрати k чисел з n — це кількість комбінацій, яку позначають C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Знак «!» означає, що треба перемножити всі цілі числа аж до 1, тож 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Для гри 6/49 перемножте шість чисел, рахуючи вниз від 49, а потім поділіть на 6!, щоб прибрати різні порядки, у яких можуть випасти ті самі шість кульок:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10 068 347 520 ÷ 720 = 13 983 816

Кожна додаткова кулька в полі зменшує шанси. Вибір 6 з 45 дає 8 145 060 комбінацій, а 6 з 59 — 45 057 474, тобто більш ніж уп’ятеро більше.

Два поля перемножуються

У таких іграх, як Powerball і EuroMillions, розігрують другий, окремий набір кульок. Кожна комбінація першого поля може поєднуватися з кожною комбінацією другого, тож дві кількості перемножують:

• Powerball, 5 з 69 плюс 1 з 26: C(69, 5) × 26 = 11 238 513 × 26 = 292 201 338.
• EuroMillions, 5 з 50 плюс 2 «Щасливі зірки» з 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160.
• Mega Millions, 5 з 70 плюс 1 з 24: C(70, 5) × 24 = 12 103 014 × 24 = 290 472 336.

Друге поле — важлива причина того, що ці джекпоти виграти набагато важче, ніж у грі 6/49: одна додаткова кулька з 26 зменшує шанси в 26 разів.

Цифрові ігри: 10 у степені кількості цифр

У Pick 3, Pick 4, 4D і Державній лотереї Таїланду кожна цифра — від 0 до 9 і розігрується окремо, тож цифра може повторитися, а порядок має значення. Кожна цифра має 10 варіантів, тож k цифр дають 10^k чисел: 1 на 1 000 для трьох цифр, 1 на 10 000 для чотирьох і 1 на 1 000 000 для шести. Ці значення стосуються збігу всіх цифр у точному порядку (ставка «straight»).

Менші виграші

Щоб вгадати рівно m з ваших k чисел, порахуйте, скількома способами можна вибрати m з k виграшних чисел і k − m з невиграшних, а потім поділіть на кількість усіх комбінацій: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Для 6/49:

Не вгадати жодного з шести — найчастіший результат. На сторінці кожної лотереї, як-от Lotto Великої Британії чи Powerball, наведено шанси на кожен результат у цій грі.

Шанси на джекпот у кожній лотереї на сайті

Це шанси, що одна комбінація вгадає всі числа, які обирає гравець, обчислені з формату кожної гри, як показано вище. У межах кожного регіону першим іде найлегший джекпот. Найменші шанси на сайті — в ігор формату 6 з 90, SuperEnalotto і турецької Çılgın Sayısal Loto: 1 на 622 614 630. Найбільші шанси серед лото — у японської Mini Loto, 5 з 31: 1 на 169 911, а в цифрових іграх шанси ще більші.

Будь-яка країна

Америка

Європа

Азія

Океанія

Африка

Бонусні кульки, які лотерея розігрує, але гравці не обирають, додаткові ігри та розіграші призів тут не враховано, тож у таблиці виграшів оператора може бути більше категорій. Оператори також наводять «загальні шанси» виграти будь-який приз — вони набагато більші, бо охоплюють і найменші виграші. Формати час від часу змінюються, і завжди діють офіційні правила вашої лотереї.

Що насправді означає 1 на 292 201 338

Такі великі числа важко уявити. Ось джекпот Powerball у звичніших мірках:

• Час: якщо грати однією комбінацією в кожному розіграші, тричі на тиждень, джекпоту довелося б чекати в середньому приблизно 1,9 млн років. Для гри 6/49 з розіграшами двічі на тиждень чекати довелося б приблизно 134 000 років.
• Секунди: у 9,3 року приблизно 292 201 338 секунд. Виграти — однаково що вгадати одну секунду, яку хтось обрав з усього цього часу.
• Монети: підкинути монету й отримати «орла» 28 разів поспіль — це 1 на 268 435 456, трохи більш імовірно, ніж джекпот.
• Багато квитків: 100 комбінацій у кожному розіграші протягом 50 років — це 780 000 комбінацій. Шанс, що хоч одна з них виграє джекпот, однаково становить лише приблизно 1 на 375.

Чому 1-2-3-4-5-6 має такі самі шанси, як будь-яка інша комбінація

У чесному розіграші кожна кулька має однакові шанси випасти, тож усі комбінації рівноймовірні: у грі 6/49 комбінація 1-2-3-4-5-6 має рівно такий самий шанс 1 на 13 983 816, як і 3-17-22-30-41-48. Вона здається менш імовірною лише тому, що ми помічаємо закономірності. Комбінацій, які легко запам’ятати, лічені одиниці, а непримітних — мільйони, тож виграє майже завжди непримітна.

З тієї самої причини не буває «гарячих» чи «холодних» чисел. Число, яке не випадало місяцями, «на черзі» не більше, ніж будь-яке інше, а те, що випало минулого тижня, анітрохи не менш імовірне. Лототрон не знає, що було в попередніх розіграшах.

Ваш вибір чисел впливає лише на одне: зі скількома людьми, можливо, доведеться ділитися. Багато гравців обирають дні народження (від 1 до 31), послідовності та візерунки на квитку, тож якщо така комбінація виграє, джекпот часто ділять на більше частин. Випадково розіграна комбінація уникає цих людських звичок. Вона не змінює ваших шансів на виграш, але може зменшити ймовірність того, що джекпот доведеться ділити. Розіграти таку комбінацію можна в генераторі чисел для лотереї.

Математичне сподівання: скільки в середньому вартий квиток

Математичне сподівання квитка — це сума, яку він у середньому повертав би за дуже великої кількості ігор. Для кожного виграшу помножте його суму на шанс його отримати, складіть результати, а потім відніміть ціну квитка.

Лотереї влаштовані так, щоб виплачувати у вигляді виграшів менше, ніж вони отримують. Частина вартості кожного квитка йде на проведення гри, продавцям, на податки, а в багатьох країнах — на добрі справи. Тож математичне сподівання квитка від’ємне: у середньому він повертає менше, ніж коштує. Джекпот, що накопичується, збільшує головний виграш, але шанси залишаються ті самі. Великі джекпоти також продають більше квитків, тож виграш частіше доводиться ділити, а податки чи менша одноразова виплата можуть зменшити суму, яку насправді отримає переможець.

Ця сторінка пояснює математику; це не фінансова порада. Якщо граєте, сприймайте квиток як плату за розвагу, установіть бюджет і ніколи не витрачайте гроші, втрату яких не можете собі дозволити. Лотереї — лише для дорослих (18+ або з віку, з якого це дозволено законом там, де ви живете).