Porównanie szans na wygraną w loteriach

Szansa na główną wygraną w loterii to 1 na liczbę różnych kuponów, które można kupić. W grze, w której wybierasz 6 liczb z 49, możliwych kombinacji jest 13 983 816, więc jeden zakład ma szansę 1 na 13 983 816. Ta sama metoda daje 1 na 292 201 338 w Powerball, 1 na 139 838 160 w EuroMillions i 1 na 45 057 474 w brytyjskim Lotto.

Co oznaczają szanse w lotto

„1 na 13 983 816” oznacza, że istnieje 13 983 816 jednakowo prawdopodobnych wyników, a twój zakład jest jednym z nich. Jako prawdopodobieństwo to 1 ÷ 13 983 816, czyli około 0,0000072%. Ściśle rzecz biorąc, statystyk nazwałby to prawdopodobieństwem, a szanse przeciw (ang. odds against) wynosiłyby 13 983 815 do 1. Loterie podają wartości typu „1 na”, podobnie jak ta strona.

Wynikają z tego dwie rzeczy. Więcej zakładów oznacza proporcjonalnie większe szanse: 10 różnych zakładów w tym samym losowaniu 6/49 daje szansę 10 na 13 983 816, czyli około 1 na 1 398 382. A każde losowanie zaczyna się od nowa: przegrana w zeszłym tygodniu nie zwiększa szans na wygraną w tym, bo kule nie mają pamięci.

Jak oblicza się szanse w lotto

Wybór liczb z jednej puli

W grze lotto kolejność liczb nie ma znaczenia: 7-12-23-31-40-44 to ten sam zakład bez względu na to, która kula wypadła pierwsza. Liczba sposobów wyboru k liczb spośród n to liczba kombinacji, zapisywana jako C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Znak „!” (silnia) oznacza pomnożenie wszystkich liczb całkowitych aż do 1, więc 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. W grze 6/49 pomnóż sześć kolejnych liczb, licząc w dół od 49, a potem podziel przez 6!, aby pozbyć się różnych kolejności, w jakich może się pojawić tych samych sześć kul:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10 068 347 520 ÷ 720 = 13 983 816

Każda dodatkowa kula w puli zmniejsza szanse. Wybór 6 z 45 daje 8 145 060 kombinacji, a 6 z 59 – 45 057 474, czyli ponad pięć razy więcej.

Przy dwóch pulach wyniki się mnoży

Gry takie jak Powerball i EuroMillions losują drugi, osobny zestaw kul. Każda kombinacja z pierwszej puli może wystąpić z każdą kombinacją z drugiej, więc obie liczby kombinacji się mnoży:

• Powerball, 5 z 69 plus 1 z 26: C(69, 5) × 26 = 11 238 513 × 26 = 292 201 338.
• EuroMillions, 5 z 50 plus 2 Gwiazdki z 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2 118 760 × 66 = 139 838 160.
• Mega Millions, 5 z 70 plus 1 z 24: C(70, 5) × 24 = 12 103 014 × 24 = 290 472 336.

Druga pula to w dużej mierze powód, dla którego te główne wygrane są o wiele trudniejsze do zdobycia niż w grze 6/49: jedna dodatkowa kula z 26 zmniejsza szansę 26-krotnie.

Gry na cyfry: 10 do potęgi liczby cyfr

W Pick 3, Pick 4, 4D i tajlandzkiej loterii rządowej każda cyfra ma wartość od 0 do 9 i jest losowana osobno, więc cyfra może się powtórzyć, a kolejność ma znaczenie. Każda cyfra ma 10 możliwych wartości, więc k cyfr daje 10^k liczb: 1 na 1000 przy trzech cyfrach, 1 na 10 000 przy czterech i 1 na 1 000 000 przy sześciu. Te wartości dotyczą trafienia wszystkich cyfr w dokładnej kolejności (zakład typu „straight”).

Niższe wygrane

Aby trafić dokładnie m z twoich k liczb, policz, na ile sposobów można wybrać m spośród k zwycięskich liczb i k − m spośród pozostałych, a potem podziel przez liczbę wszystkich kombinacji: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Dla gry 6/49:

Nietrafienie żadnej z sześciu liczb to najczęstszy wynik. Strona każdej loterii, np. brytyjskiego Lotto albo Powerball, podaje szanse na każde trafienie w danej grze.

Szanse na główną wygraną w każdej loterii w serwisie

Oto szanse, że jeden zakład trafi wszystkie liczby wybierane przez gracza, obliczone na podstawie formatu każdej gry tak jak powyżej. W każdym regionie najłatwiejsza główna wygrana jest na początku. Najmniejsze szanse w serwisie mają gry 6 z 90, SuperEnalotto i turecka Çılgın Sayısal Loto: 1 na 622 614 630. Największe szanse wśród gier lotto daje japońska Mini Loto, 5 z 31: 1 na 169 911, a gry na cyfry dają jeszcze większe.

Dowolny kraj

Ameryka

Europa

Azja

Oceania

Afryka

Nie uwzględniono liczb dodatkowych, które loteria losuje, ale których gracze nie wybierają, ani gier dodatkowych i dodatkowych losowań nagród, więc tabela wygranych operatora może zawierać więcej stopni. Operatorzy podają też „ogólną szansę” na jakąkolwiek wygraną, która jest znacznie większa, bo obejmuje najmniejsze nagrody. Formaty gier od czasu do czasu się zmieniają, a zawsze obowiązują oficjalne zasady twojej loterii.

Jak wyobrazić sobie 1 na 292 201 338

Tak duże liczby trudno sobie wyobrazić. Oto główna wygrana w Powerball w bardziej codziennych kategoriach:

• Czas: grając jednym zakładem w każdym losowaniu, trzy razy w tygodniu, na główną wygraną trzeba by czekać średnio około 1,9 mln lat. W grze 6/49 losowanej dwa razy w tygodniu czekałoby się około 134 000 lat.
• Sekundy: w 9,3 roku mieści się około 292 201 338 sekund. Wygrana jest jak odgadnięcie jednej sekundy, którą ktoś wybrał z całego tego czasu.
• Monety: wyrzucenie orła 28 razy z rzędu to 1 na 268 435 456, czyli nieco bardziej prawdopodobne niż główna wygrana.
• Mnóstwo kuponów: 100 zakładów w każdym losowaniu przez 50 lat to 780 000 zakładów. Szansa, że którykolwiek z nich trafi główną wygraną, to nadal tylko około 1 na 375.

Dlaczego 1-2-3-4-5-6 ma takie same szanse jak każdy inny zakład

W uczciwym losowaniu każda kula ma taką samą szansę wypadnięcia, więc każda kombinacja jest tak samo prawdopodobna: 1-2-3-4-5-6 ma w grze 6/49 dokładnie taką samą szansę, 1 na 13 983 816, jak 3-17-22-30-41-48. Ten układ wydaje się mniej prawdopodobny tylko dlatego, że zauważamy wzory. Łatwych do zapamiętania zakładów jest kilka, a niczym niewyróżniających się – miliony, więc prawie zawsze wygrywa któryś z tych drugich.

Z tego samego powodu nie ma „gorących” ani „zimnych” liczb. Liczba, która nie padła od miesięcy, nie ma większych szans niż każda inna, a ta, która padła w zeszłym tygodniu, nie ma mniejszych. Maszyna nie wie, co działo się we wcześniejszych losowaniach.

Wybór liczb wpływa jednak na jedno: z iloma osobami być może podzielisz się wygraną. Wielu graczy wybiera daty urodzin (od 1 do 31), ciągi i wzory na kuponie, więc jeśli taki zakład wygra, główna wygrana często jest dzielona na więcej osób. Losowo wybrany zakład omija te ludzkie nawyki. Nie zmienia szansy na wygraną, ale może zmniejszyć ryzyko, że główną wygraną trzeba będzie się dzielić. Taki zakład wylosujesz w generatorze liczb lotto.

Wartość oczekiwana: ile średnio jest wart kupon

Wartość oczekiwana kuponu to kwota, jaką zwracałby on średnio w bardzo długim okresie. Dla każdej wygranej pomnóż jej wysokość przez szansę jej zdobycia, zsumuj wyniki, a potem odejmij cenę kuponu.

Loterie są tak zaprojektowane, aby wypłacać w nagrodach mniej, niż zbierają. Część ceny każdego kuponu idzie na prowadzenie gry, sprzedawców, podatki, a w wielu krajach także na cele społeczne. Dlatego wartość oczekiwana kuponu jest ujemna: średnio zwraca on mniej, niż kosztuje. Kumulacja podnosi najwyższą wygraną, ale szanse pozostają takie same. Wysokie kumulacje napędzają też sprzedaż kuponów, co zwiększa prawdopodobieństwo podziału wygranej, a podatki albo niższa wypłata jednorazowa mogą zmniejszyć kwotę, którą faktycznie się otrzymuje.

Ta strona wyjaśnia matematykę; nie jest to porada finansowa. Jeśli grasz, traktuj kupon jako cenę rozrywki, ustal budżet i nigdy nie wydawaj pieniędzy, na których stratę nie możesz sobie pozwolić. Loterie są wyłącznie dla dorosłych (18+ lub od wieku dozwolonego tam, gdzie mieszkasz).