宝くじの当選確率を比較

宝くじの1等に当選する確率は、「買うことのできる異なるくじの数」分の1です。49個の数字から6個を選ぶくじなら、組み合わせは13,983,816通りあるので、1口の当選確率は13,983,816分の1です。同じ数え方で、Powerballは292,201,338分の1、EuroMillionsは139,838,160分の1、イギリスのLottoは45,057,474分の1になります。

宝くじの当選確率の意味

「13,983,816分の1」とは、同じ確率で起こる結果が13,983,816通りあり、あなたの1口はそのうちの1つだという意味です。確率で表すと1 ÷ 13,983,816、つまり約0.0000072%です。厳密に言えば、統計学ではこれを「確率」と呼び、「オッズ」で表すと13,983,815対1になります。宝くじでは「〜分の1」という表し方が使われていて、このページもそれにならっています。

ここから2つのことが言えます。1つ目に、口数を増やせば、その分だけ確率は上がります。同じ6/49の抽選で異なる組み合わせを10口買えば、確率は13,983,816分の10、つまり約1,398,382分の1です。2つ目に、抽選は毎回まっさらな状態から始まります。ボールには記憶がないので、先週外れたからといって、今週当たりやすくなることはありません。

宝くじの当選確率の計算方法

1つのグループから数字を選ぶ場合

ロトでは数字の順番は関係ありません。7-12-23-31-40-44は、どのボールが先に出ても同じ組み合わせです。n個からk個を選ぶ方法の数は組み合わせの数で、C(n, k)と書きます。

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

「!」は、その数から1までのすべての整数を掛けることを表します。たとえば6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720です。6/49のくじでは、49から1ずつ減らしながら6個の数を掛け、それを6!で割って、同じ6個のボールが出る順番の違いを取り除きます。

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10,068,347,520 ÷ 720 = 13,983,816

グループのボールが1個増えるごとに、確率は低くなります。45個から6個なら組み合わせは8,145,060通りですが、59個から6個なら45,057,474通りと、5倍以上になります。

2つのグループは掛け算

PowerballやEuroMillionsのようなくじでは、別のボールのセットをもう1つ抽選します。1つ目のグループのどの組み合わせも、2つ目のグループのどの組み合わせとも組めるので、2つの数を掛け合わせます。

• Powerball：69個から5個 + 26個から1個。C(69, 5) × 26 = 11,238,513 × 26 = 292,201,338。
• EuroMillions：50個から5個 + 12個からラッキースター2個。C(50, 5) × C(12, 2) = 2,118,760 × 66 = 139,838,160。
• Mega Millions：70個から5個 + 24個から1個。C(70, 5) × 24 = 12,103,014 × 24 = 290,472,336。

これらのくじの1等が6/49のくじよりはるかに当たりにくい大きな理由は、この2つ目のグループです。26個から1個を選ぶボールが加わるだけで、当選確率は26分の1になります。

桁を当てるくじ：10の桁数乗

Pick 3、Pick 4、4D、タイ政府宝くじでは、各桁が0〜9で、それぞれ別々に抽選されるので、同じ数字が重なることがあり、順番も関係します。各桁に10通りの可能性があるので、k桁なら10^k通りの番号があります。3桁なら1,000分の1、4桁なら10,000分の1、6桁なら1,000,000分の1です。これらは、すべての桁を正しい順番で当てる場合（「ストレート」）の確率です。

下位の賞

選んだk個の数字のうちちょうどm個が一致する確率は、当選数字k個からm個を選ぶ方法の数と、はずれの数字からk − m個を選ぶ方法の数を掛け、すべての組み合わせの数で割って求めます。式で表すとC(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k)です。6/49の場合は次のとおりです。

6個のうち1つも一致しないのが、最もよくある結果です。イギリスのLottoやPowerballなど、各宝くじのページに、そのくじのすべての一致数の確率を掲載しています。

このサイトにあるすべての宝くじの1等当選確率

以下は、1口がプレイヤーの選ぶすべての数字に一致する確率で、上と同じ方法で各くじの形式から計算しています。地域ごとに、1等が当たりやすい順に並べています。このサイトで最も確率が低いのは、90個から6個を選ぶSuperEnalottoとトルコのÇılgın Sayısal Lotoで、622,614,630分の1です。ロトで最も確率が高いのは31個から5個を選ぶ日本のミニロトで169,911分の1、桁を当てるくじはさらに高くなります。

国を問わず

南北アメリカ

ヨーロッパ

アジア

オセアニア

アフリカ

抽選されてもプレイヤーが選ばないボーナス数字、追加ゲーム、抽選券番号によるラッフルは含まれていないため、運営者の賞金表にはもっと多くの等級が載っていることがあります。また運営者は、いずれかの賞に当たる「総合当選確率」も公表していますが、これは最も小さい賞まで含むため、はるかに高くなります。形式は時々変わり、常にお住まいの宝くじの公式ルールが優先されます。

292,201,338分の1を実感する

これほど大きな数は、なかなか想像できません。Powerballの1等の確率を、身近なものに置き換えてみましょう。

• 時間：週3回の抽選に毎回1口ずつ買い続けると、1等が当たるまでに平均で約1.9百万年かかる計算です。週2回抽選の6/49のくじなら、約134,000年です。
• 秒数：9.3年はおよそ292,201,338秒です。1等に当たるのは、その長い時間の中から誰かが選んだ1秒を言い当てるようなものです。
• コイン：コインを投げて28回続けて表が出る確率は268,435,456分の1です。それでも、1等よりはわずかに起こりやすいのです。
• 大量購入：50年間、毎回の抽選で100口ずつ買うと780,000口になります。それでも、そのどれかが1等に当たる確率は約375分の1にすぎません。

1-2-3-4-5-6がほかの組み合わせと同じ確率である理由

公正な抽選では、どのボールも同じ確率で出るので、どの組み合わせも同じ確率です。6/49のくじで1-2-3-4-5-6が当たる確率は、3-17-22-30-41-48とまったく同じ13,983,816分の1です。当たりにくそうに見えるのは、人がパターンに目を留めるからにすぎません。覚えやすい組み合わせはごくわずかで、覚えにくい組み合わせは何百万通りもあるので、当選するのはほぼ必ず覚えにくい組み合わせなのです。

同じ理由で、「ホット」な数字や「コールド」な数字もありません。何か月も出ていない数字がそろそろ出るわけではなく、先週出た数字が出にくくなるわけでもありません。抽選機は、過去の抽選で何が起きたかを知りません。

数字の選び方が影響することが1つだけあります。当選したときに賞金を分け合うかもしれない人数です。多くの人は誕生日（1〜31）や連番、券面上の模様を選ぶので、そうした組み合わせが当選すると、1等の賞金がより多くの人で分けられることがよくあります。ランダムに抽選した組み合わせなら、こうした人間のくせを避けられます。当選確率は変わりませんが、1等を分け合う可能性は低くなるかもしれません。宝くじ数字ジェネレーターで抽選できます。

期待値：1枚のくじの平均的な価値

くじの期待値とは、非常に長い目で見たときに平均して戻ってくる金額のことです。すべての賞について、賞金にその賞が当たる確率を掛けて合計し、そこからくじの価格を引いて求めます。

宝くじは、売上よりも少ない額を賞金として払い出すように設計されています。くじの代金の一部は、運営費、販売店、税金、そして多くの国では公益事業に充てられます。そのため、くじの期待値はマイナスで、平均すると代金より少ない額しか戻ってきません。キャリーオーバーで1等の賞金は増えますが、確率は変わりません。また、1等の賞金が大きいほど多くのくじが売れるため、当選金を分け合う可能性が高くなり、税金や、金額の少ない一括受け取りを選ぶことで、実際に支払われる額が減ることもあります。

このページは数学を解説するもので、金融上の助言ではありません。宝くじを買うなら、くじ代は娯楽の料金と考え、予算を決めて、失っても困らない範囲のお金だけを使いましょう。宝くじは成人のみが対象です（18歳以上、またはお住まいの地域の法定年齢以上）。