Winkansen van loterijen vergeleken

Je kans op de jackpot van een loterij is 1 op het aantal verschillende rijen dat je kunt spelen. Kies je 6 getallen uit 49, dan zijn er 13.983.816 mogelijke combinaties, dus heeft één rij een kans van 1 op 13.983.816. Dezelfde telling geeft 1 op 292.201.338 voor Powerball, 1 op 139.838.160 voor EuroMillions en 1 op 45.057.474 voor de Britse Lotto.

Wat winkansen betekenen

“1 op 13.983.816” betekent dat er 13.983.816 even waarschijnlijke uitkomsten zijn, en dat jouw rij er één van is. Als kans uitgedrukt is dat 1 ÷ 13.983.816, ofwel ongeveer 0,0000072%. Strikt genomen noemt een statisticus dat de kans; uitgedrukt als odds, zoals bij wedden, zou het 13.983.815 tegen 1 zijn. Loterijen noemen cijfers als “1 op”, en deze pagina doet dat ook.

Daar volgen twee dingen uit. Meer rijen geven evenredig meer kans: 10 verschillende rijen in dezelfde 6/49-trekking geven een kans van 10 op 13.983.816, ofwel ongeveer 1 op 1.398.382. En elke trekking begint opnieuw: dat je vorige week verloor, maakt het niet waarschijnlijker dat je deze week wint, want de ballen hebben geen geheugen.

Zo worden winkansen berekend

Getallen kiezen uit één reeks

Bij een lottospel maakt de volgorde van de getallen niet uit: 7-12-23-31-40-44 is dezelfde rij, welke bal er ook als eerste uitkwam. Het aantal manieren om k getallen uit n te kiezen, is het aantal combinaties, geschreven als C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Het “!” betekent dat je een getal vermenigvuldigt met alle kleinere hele getallen tot en met 1, dus 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Voor een 6/49-spel vermenigvuldig je de zes getallen die vanaf 49 aftellen, en deel je door 6! om de verschillende volgordes weg te werken waarin dezelfde zes ballen kunnen verschijnen:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Elke extra bal in de reeks maakt de kans kleiner. Wie 6 uit 45 kiest, heeft 8.145.060 combinaties, terwijl 6 uit 59 er 45.057.474 geeft, meer dan vijf keer zoveel.

Twee reeksen: vermenigvuldigen

Spellen als Powerball en EuroMillions trekken een tweede, aparte set ballen. Elke combinatie uit de eerste reeks kan samengaan met elke combinatie uit de tweede, dus de twee aantallen worden met elkaar vermenigvuldigd:

• Powerball, 5 uit 69 plus 1 uit 26: C(69, 5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338.
• EuroMillions, 5 uit 50 plus 2 sterren uit 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
• Mega Millions, 5 uit 70 plus 1 uit 24: C(70, 5) × 24 = 12.103.014 × 24 = 290.472.336.

Die tweede reeks is een groot deel van de reden waarom deze jackpots zo veel moeilijker te winnen zijn dan bij een 6/49-spel: één extra bal uit 26 maakt de kans 26 keer zo klein.

Cijferspellen: 10 tot de macht het aantal cijfers

Bij Pick 3, Pick 4, 4D en de Thaise staatsloterij is elk cijfer 0 tot en met 9 en wordt het apart getrokken, dus een cijfer kan terugkomen en de volgorde telt. Elk cijfer heeft 10 mogelijkheden, dus k cijfers geven 10^k getallen: 1 op 1.000 bij drie cijfers, 1 op 10.000 bij vier en 1 op 1.000.000 bij zes. Deze kansen gelden voor alle cijfers goed in de exacte volgorde (een “straight”-inzet).

Kleinere prijzen

Om precies m van je k getallen goed te hebben, tel je de manieren om m van de k winnende getallen en k − m van de niet-winnende getallen te kiezen, en deel je door alle combinaties: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). Voor 6/49:

Geen enkel getal goed is de meest voorkomende uitslag. De eigen pagina van elke loterij, zoals die van de Britse Lotto of van Powerball, geeft de kans op elk aantal goed voor dat spel.

Kans op de jackpot bij elke loterij op deze site

Dit zijn de kansen dat één rij alle getallen goed heeft die een speler kiest, berekend uit het formaat van elk spel zoals hierboven. Binnen elke regio staat de makkelijkste jackpot bovenaan. De kleinste kansen op de site horen bij de 6-uit-90-spellen, SuperEnalotto en de Turkse Çılgın Sayısal Loto, met 1 op 622.614.630. De grootste kans van alle lottospellen heeft de Japanse Mini Loto, 5 uit 31, met 1 op 169.911, en bij cijferspellen is de kans nog groter.

Elk land

Amerika

Europa

Azië

Oceanië

Afrika

Bonusballen die de loterij trekt maar die spelers niet kiezen, extra spellen en verlotingen zijn niet meegenomen, dus de prijstabel van een aanbieder kan meer prijsklassen bevatten. Aanbieders noemen ook een “totale winkans” op een willekeurige prijs, en die is veel groter omdat de kleinste prijzen meetellen. Formaten veranderen af en toe, en de officiële regels van je loterij gelden altijd.

Zo klein is een kans van 1 op 292.201.338

Zulke grote getallen zijn moeilijk voor te stellen. Hier is de Powerball-jackpot in meer herkenbare termen:

• Tijd: als je bij elke trekking één rij speelt, bij drie trekkingen per week, moet je naar verwachting zo’n 1,9 miljoen jaar wachten op een jackpot. Bij een 6/49-spel met twee trekkingen per week is dat ongeveer 134.000 jaar.
• Seconden: er zitten ongeveer 292.201.338 seconden in 9,3 jaar. Winnen is alsof je raadt welke ene seconde iemand uit al die tijd heeft gekozen.
• Munten: 28 keer achter elkaar kop gooien met een munt is 1 op 268.435.456, iets waarschijnlijker dan de jackpot.
• Heel veel loten: 100 rijen bij elke trekking, 50 jaar lang, zijn samen 780.000 rijen. De kans dat er daarvan één de jackpot wint, is nog steeds maar ongeveer 1 op 375.

Waarom 1-2-3-4-5-6 dezelfde kans heeft als elke andere rij

Bij een eerlijke trekking heeft elke bal evenveel kans om eruit te komen, dus is elke combinatie even waarschijnlijk: 1-2-3-4-5-6 heeft bij een 6/49-spel precies dezelfde kans van 1 op 13.983.816 als 3-17-22-30-41-48. Het lijkt alleen minder waarschijnlijk omdat we patronen opmerken. Er zijn maar een paar opvallende rijen en miljoenen onopvallende, dus wint er bijna altijd een onopvallende rij.

Om dezelfde reden bestaan er geen “warme” of “koude” getallen. Een getal dat al maanden niet is gevallen, is niet meer “aan de beurt” dan een ander, en een getal dat vorige week viel, heeft niet minder kans. De machine weet niet wat er bij eerdere trekkingen is gebeurd.

Je keuze van getallen beïnvloedt wel één ding: met hoeveel mensen je een prijs misschien moet delen. Veel spelers kiezen verjaardagen (1 tot en met 31), reeksen en patronen op het formulier, dus als zo’n rij wint, wordt de jackpot vaak onder meer mensen verdeeld. Een willekeurig getrokken rij vermijdt die menselijke gewoonten. Je winkans verandert er niet door, maar een gedeelde jackpot wordt er misschien minder waarschijnlijk door. Je kunt zo’n rij trekken met de lottogetallengenerator.

Verwachtingswaarde: wat een lot gemiddeld waard is

De verwachtingswaarde van een lot is wat het op heel lange termijn gemiddeld zou opleveren. Vermenigvuldig voor elke prijs het prijzengeld met de kans om die prijs te winnen, tel de uitkomsten bij elkaar op en trek daar de inleg van het lot van af.

Loterijen zijn zo opgezet dat ze minder aan prijzen uitkeren dan ze binnenkrijgen. Een deel van elk lot betaalt de organisatie van het spel, de verkooppunten, belastingen en, in veel landen, goede doelen. De verwachtingswaarde van een lot is dus negatief: gemiddeld levert het minder op dan het kost. Een oplopende jackpot verhoogt de hoofdprijs, maar de kansen blijven gelijk. Grote jackpots verkopen ook meer loten, waardoor een gedeelde winst waarschijnlijker wordt, en belastingen of een kleiner bedrag bij uitbetaling ineens kunnen verminderen wat er echt wordt uitgekeerd.

Deze pagina legt de wiskunde uit; het is geen financieel advies. Speel je, zie een lot dan als wat je betaalt voor een beetje vermaak, stel een budget vast en geef nooit geld uit dat je niet kunt missen. Loterijen zijn alleen voor volwassenen (18+, of de wettelijke leeftijd waar je woont).