लॉटरी में जीतने की संभावना: तुलना

लॉटरी जैकपॉट जीतने की संभावना उतने में 1 होती है, जितने अलग-अलग टिकट आप ख़रीद सकते हैं। जिस गेम में आप 49 में से 6 नंबर चुनते हैं, उसमें 1,39,83,816 संभव कॉम्बिनेशन हैं, इसलिए एक कॉम्बिनेशन के जीतने की संभावना 1,39,83,816 में 1 है। इसी गिनती से Powerball के लिए 29,22,01,338 में 1, EuroMillions के लिए 13,98,38,160 में 1 और यूके Lotto के लिए 4,50,57,474 में 1 आता है।

लॉटरी की संभावना का मतलब

“1,39,83,816 में 1” का मतलब है कि बराबर संभावना वाले 1,39,83,816 नतीजे हो सकते हैं, और आपका कॉम्बिनेशन उनमें से एक है। प्रायिकता के रूप में यह 1 ÷ 1,39,83,816 है, यानी लगभग 0.0000072%। सांख्यिकी की सख़्त भाषा में इसे प्रायिकता (probability) कहा जाएगा, जबकि odds against, यानी हारने और जीतने का अनुपात, 1,39,83,815 से 1 होगा। लॉटरियाँ “… में 1” वाले आँकड़े बताती हैं, और यह पेज भी।

इससे दो बातें निकलती हैं। ज़्यादा कॉम्बिनेशन का मतलब है उसी अनुपात में बेहतर संभावना: उसी 6/49 ड्रॉ में 10 अलग-अलग कॉम्बिनेशन से 1,39,83,816 में 10 की संभावना मिलती है, यानी लगभग 13,98,382 में 1। और हर ड्रॉ नए सिरे से शुरू होता है: पिछले हफ़्ते हारने से इस हफ़्ते जीतने की संभावना नहीं बढ़ती, क्योंकि बॉल की कोई याददाश्त नहीं होती।

लॉटरी की संभावना का हिसाब कैसे लगता है

एक समूह से नंबर चुनना

लोट्टो गेम में नंबरों का क्रम मायने नहीं रखता: 7-12-23-31-40-44 एक ही कॉम्बिनेशन है, चाहे कोई भी बॉल पहले निकली हो। n में से k नंबर चुनने के तरीक़ों की संख्या को कॉम्बिनेशन (संचय) की संख्या कहते हैं, जिसे C(n, k) लिखा जाता है:

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

“!” का मतलब है 1 तक की हर पूर्ण संख्या का गुणा, जैसे 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720। 6/49 गेम के लिए 49 से नीचे की ओर गिनते हुए छह संख्याओं का गुणा करें, फिर 6! से भाग दें, ताकि वे अलग-अलग क्रम हट जाएँ जिनमें वही छह बॉल आ सकती हैं:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10,06,83,47,520 ÷ 720 = 1,39,83,816

समूह में हर अतिरिक्त बॉल संभावना को और घटा देती है। 45 में से 6 चुनने पर 81,45,060 कॉम्बिनेशन बनते हैं, जबकि 59 में से 6 चुनने पर 4,50,57,474, यानी पाँच गुना से भी ज़्यादा।

दो समूहों की गिनती का गुणा होता है

Powerball और EuroMillions जैसे गेम बॉल का एक दूसरा, अलग सेट भी निकालते हैं। पहले समूह का हर कॉम्बिनेशन दूसरे समूह के हर कॉम्बिनेशन के साथ जुड़ सकता है, इसलिए दोनों गिनतियों का गुणा किया जाता है:

• Powerball, 69 में से 5 और 26 में से 1: C(69, 5) × 26 = 1,12,38,513 × 26 = 29,22,01,338।
• EuroMillions, 50 में से 5 और 12 में से 2 लकी स्टार: C(50, 5) × C(12, 2) = 21,18,760 × 66 = 13,98,38,160।
• Mega Millions, 70 में से 5 और 24 में से 1: C(70, 5) × 24 = 1,21,03,014 × 24 = 29,04,72,336।

यह दूसरा समूह एक बड़ी वजह है कि इन गेम के जैकपॉट 6/49 गेम से कहीं ज़्यादा मुश्किल हैं: 26 में से एक अतिरिक्त बॉल संभावना को 26 गुना घटा देती है।

अंकों वाले गेम: 10 की घात अंकों की संख्या

Pick 3, Pick 4, 4D और थाई सरकारी लॉटरी में हर अंक 0 से 9 तक होता है और अलग से निकाला जाता है, इसलिए कोई अंक दोहराया जा सकता है और क्रम मायने रखता है। हर अंक की 10 संभावनाएँ होती हैं, इसलिए k अंकों से 10^k नंबर बनते हैं: तीन अंकों के लिए 1,000 में 1, चार के लिए 10,000 में 1 और छह के लिए 10,00,000 में 1। ये आँकड़े हर अंक के ठीक उसी क्रम में मिलने के लिए हैं (“स्ट्रेट” दाँव)।

छोटे इनाम

अपने k नंबरों में से ठीक m मिलाने के लिए, k जीतने वाले नंबरों में से m और हारने वाले नंबरों में से k − m चुनने के तरीक़े गिनें, फिर सभी कॉम्बिनेशन की संख्या से भाग दें: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k)। 6/49 के लिए:

छह में से एक भी नंबर न मिलना सबसे आम नतीजा है। हर लॉटरी के अपने पेज पर, जैसे यूके Lotto या Powerball, उस गेम के हर मिलान की संभावना दी गई है।

इस साइट की हर लॉटरी में जैकपॉट की संभावना

ये संभावनाएँ इस बात की हैं कि एक कॉम्बिनेशन खिलाड़ी के चुने सारे नंबरों से मिल जाए, और इनका हिसाब ऊपर बताए तरीक़े से हर गेम के फ़ॉर्मेट से लगाया गया है। हर क्षेत्र में सबसे आसान जैकपॉट सबसे पहले है। साइट पर सबसे कम संभावना 90 में से 6 वाले गेम, SuperEnalotto और तुर्किये के Çılgın Sayısal Loto, में है: 62,26,14,630 में 1। लोट्टो गेम में सबसे अच्छी संभावना जापान के Mini Loto (31 में से 5) में है: 1,69,911 में 1, और अंकों वाले गेम में संभावना इससे भी अच्छी है।

कोई भी देश

अमेरिका महाद्वीप

यूरोप

एशिया

ओशिनिया

अफ़्रीका

जो बोनस बॉल लॉटरी निकालती है पर खिलाड़ी नहीं चुनते, ऐड-ऑन गेम और रैफ़ल इसमें शामिल नहीं हैं, इसलिए ऑपरेटर की इनाम तालिका में और भी श्रेणियाँ हो सकती हैं। ऑपरेटर कोई भी इनाम जीतने की “कुल संभावना” (overall odds) भी बताते हैं, जो कहीं बेहतर होती है क्योंकि उसमें सबसे छोटे इनाम भी शामिल होते हैं। फ़ॉर्मेट समय-समय पर बदलते रहते हैं, और आपकी लॉटरी के आधिकारिक नियम ही हमेशा लागू होते हैं।

29,22,01,338 में 1 कितना होता है

इतनी बड़ी संख्याओं की कल्पना करना मुश्किल है। यहाँ Powerball जैकपॉट को ज़्यादा जानी-पहचानी चीज़ों से समझिए:

• समय: हर ड्रॉ में एक कॉम्बिनेशन खेलते हुए, हफ़्ते में तीन ड्रॉ के हिसाब से, जैकपॉट के लिए आपको लगभग 1.9 मिलियन साल इंतज़ार करना होगा। हफ़्ते में दो बार होने वाले 6/49 गेम में यह इंतज़ार लगभग 1,34,000 साल का है।
• सेकंड: 9.3 साल में लगभग 29,22,01,338 सेकंड होते हैं। जीतना ऐसा है, जैसे इतने लंबे समय में से किसी के चुने एक सेकंड का सही अंदाज़ा लगाना।
• सिक्के: सिक्का उछालने पर लगातार 28 बार चित आने की संभावना 26,84,35,456 में 1 है, यानी जैकपॉट से थोड़ी ज़्यादा।
• ढेर सारे टिकट: 50 साल तक हर ड्रॉ में 100 कॉम्बिनेशन, यानी कुल 7,80,000 कॉम्बिनेशन। फिर भी इनमें से किसी एक के जैकपॉट जीतने की संभावना सिर्फ़ लगभग 375 में 1 है।

1-2-3-4-5-6 की संभावना भी किसी दूसरे कॉम्बिनेशन जितनी ही क्यों है

निष्पक्ष ड्रॉ में हर बॉल के निकलने की संभावना बराबर होती है, इसलिए हर कॉम्बिनेशन की संभावना भी बराबर होती है: 6/49 गेम में 1-2-3-4-5-6 की संभावना ठीक 1,39,83,816 में 1 है, उतनी ही जितनी 3-17-22-30-41-48 की। यह कम संभव सिर्फ़ इसलिए लगता है क्योंकि हमारा ध्यान पैटर्न पर जाता है। याद रह जाने वाले कॉम्बिनेशन गिने-चुने हैं और भूल जाने वाले लाखों, इसलिए जीतता लगभग हमेशा कोई भूल जाने वाला कॉम्बिनेशन ही है।

इसी वजह से “हॉट” या “कोल्ड” नंबर जैसी कोई चीज़ नहीं होती। जो नंबर महीनों से नहीं आया, उसकी “बारी” किसी और नंबर से ज़्यादा नहीं है, और जो पिछले हफ़्ते आया था, उसके आने की संभावना कम नहीं है। मशीन को नहीं पता कि पिछले ड्रॉ में क्या हुआ था।

आपके नंबरों का चुनाव एक चीज़ पर ज़रूर असर डालता है: इनाम आपको कितने लोगों के साथ बाँटना पड़ सकता है। बहुत से खिलाड़ी जन्मदिन (1 से 31), क्रम वाले नंबर और टिकट पर पैटर्न चुनते हैं, इसलिए अगर ऐसा कॉम्बिनेशन जीतता है, तो जैकपॉट अक्सर ज़्यादा लोगों में बँटता है। रैंडम तरीक़े से निकाला गया कॉम्बिनेशन इन इंसानी आदतों से बचता है। इससे आपके जीतने की संभावना नहीं बदलती, पर जैकपॉट बाँटने की नौबत कम आ सकती है। आप लॉटरी नंबर जनरेटर से ऐसा कॉम्बिनेशन निकाल सकते हैं।

अपेक्षित मूल्य: एक टिकट औसतन कितने का है

किसी टिकट का अपेक्षित मूल्य (expected value) वह रकम है जो वह बहुत लंबे समय में औसतन लौटाएगा। हर इनाम के लिए इनाम की रकम को उसे जीतने की संभावना से गुणा करें, सारे नतीजे जोड़ें, फिर टिकट की क़ीमत घटा दें।

लॉटरियाँ इस तरह बनाई जाती हैं कि वे जितना पैसा लेती हैं, उससे कम इनाम में बाँटती हैं। हर टिकट का एक हिस्सा गेम चलाने, विक्रेताओं, टैक्स और कई देशों में नेक कामों पर ख़र्च होता है। इसलिए टिकट का अपेक्षित मूल्य नकारात्मक होता है: औसतन यह अपनी क़ीमत से कम लौटाता है। आगे बढ़ता (रोलओवर) जैकपॉट सबसे बड़ा इनाम तो बढ़ा देता है, पर संभावना वही रहती है। बड़े जैकपॉट पर टिकट भी ज़्यादा बिकते हैं, जिससे इनाम बँटने की संभावना बढ़ जाती है, और टैक्स या कम रकम वाला एकमुश्त भुगतान असल में मिलने वाली रकम घटा सकते हैं।

यह पेज गणित समझाता है; यह वित्तीय सलाह नहीं है। अगर आप खेलते हैं, तो टिकट को मनोरंजन की क़ीमत समझें, बजट तय करें, और कभी भी उतना पैसा न लगाएँ जिसे खोना आप सहन न कर सकें। लॉटरी सिर्फ़ वयस्कों के लिए है (18+, या जहाँ आप रहते हैं वहाँ की क़ानूनी उम्र)।