Probabilidades de lotería comparadas

La probabilidad de ganar el bote de una lotería es de 1 entre el número de boletos distintos que podrías comprar. En un juego en el que eliges 6 números de 49 hay 13.983.816 combinaciones posibles, así que una combinación tiene una probabilidad de 1 entre 13.983.816. El mismo cálculo da 1 entre 292.201.338 en Powerball, 1 entre 139.838.160 en Euromillones y 1 entre 45.057.474 en el Lotto del Reino Unido.

Qué significan las probabilidades de la lotería

“1 entre 13.983.816” significa que hay 13.983.816 resultados igual de probables, y tu combinación es uno de ellos. Como probabilidad, eso es 1 ÷ 13.983.816, o aproximadamente un 0,0000072 %. En sentido estricto, eso es la probabilidad; expresado como cuota en contra (lo que en inglés se llama odds against) sería de 13.983.815 a 1. Las loterías dan cifras del tipo “1 entre”, y esta página también.

De ahí se deducen dos cosas. Más combinaciones mejoran la probabilidad en la misma proporción: 10 combinaciones distintas en el mismo sorteo 6/49 dan una probabilidad de 10 entre 13.983.816, o aproximadamente 1 entre 1.398.382. Y cada sorteo empieza de cero: haber perdido la semana pasada no hace más probable que ganes esta, porque las bolas no tienen memoria.

Cómo se calculan las probabilidades de la lotería

Elegir números de un solo bombo

En un juego de loto, el orden de los números no importa: 7-12-23-31-40-44 es la misma combinación salga primero la bola que salga. El número de formas de elegir k números de n es el número de combinaciones, que se escribe C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

El signo “!” significa multiplicar todos los números enteros hasta llegar a 1, así que 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. En un juego 6/49, multiplica los seis números que bajan desde 49 y divide entre 6! para eliminar los distintos órdenes en que pueden aparecer las mismas seis bolas:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Cada bola más en el bombo reduce la probabilidad. Elegir 6 de 45 da 8.145.060 combinaciones, mientras que 6 de 59 da 45.057.474, más de cinco veces más.

Dos bombos se multiplican

Juegos como Powerball y Euromillones extraen un segundo juego de bolas, aparte. Cada combinación del primer bombo puede ir con cada combinación del segundo, así que los dos recuentos se multiplican:

• Powerball, 5 de 69 más 1 de 26: C(69, 5) × 26 = 11.238.513 × 26 = 292.201.338.
• Euromillones, 5 de 50 más 2 estrellas de 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
• Mega Millions, 5 de 70 más 1 de 24: C(70, 5) × 24 = 12.103.014 × 24 = 290.472.336.

El segundo bombo explica en buena parte por qué estos botes son mucho más difíciles de ganar que un juego 6/49: una sola bola extra de 26 divide la probabilidad entre 26.

Juegos de dígitos: 10 elevado al número de dígitos

En Pick 3, Pick 4, 4D y la Lotería del Gobierno de Tailandia, cada dígito va del 0 al 9 y se sortea por separado, así que un dígito puede repetirse y el orden importa. Cada dígito tiene 10 posibilidades, así que k dígitos dan 10^k números: 1 entre 1000 con tres dígitos, 1 entre 10.000 con cuatro y 1 entre 1.000.000 con seis. Estas cifras son para acertar todos los dígitos en el orden exacto (una apuesta “straight”).

Premios menores

Para acertar exactamente m de tus k números, cuenta las formas de elegir m de los k números ganadores y k − m de los perdedores, y divide entre todas las combinaciones: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k). En un 6/49:

No acertar ninguno de los seis es el resultado más habitual. La página de cada lotería, como la del Lotto del Reino Unido o la de Powerball, detalla la probabilidad de cada acierto en ese juego.

La probabilidad del bote de cada lotería del sitio

Estas son las probabilidades de que una combinación acierte todos los números que elige el jugador, calculadas a partir del formato de cada juego como se explica arriba. Dentro de cada región, el bote más fácil va primero. Las probabilidades más bajas del sitio son las de los juegos de 6 de 90, SuperEnalotto y el Çılgın Sayısal Loto de Turquía, con 1 entre 622.614.630. La probabilidad más alta entre los juegos de loto es la del Mini Loto de Japón, 5 de 31, con 1 entre 169.911, y los juegos de dígitos son más fáciles todavía.

Cualquier país

América

Europa

Asia

Oceanía

África

No se incluyen los números adicionales que la lotería extrae pero que los jugadores no eligen, ni los juegos complementarios ni las rifas, así que la tabla de premios de un operador puede tener más categorías. Los operadores también dan una “probabilidad general” de ganar cualquier premio, que es mucho más alta porque incluye los premios más pequeños. Los formatos cambian de vez en cuando, y siempre se aplican las reglas oficiales de tu lotería.

Cómo hacerse una idea de 1 entre 292.201.338

Cuesta imaginar números tan grandes. Este es el bote de Powerball en términos más cotidianos:

• Tiempo: jugando una combinación en cada sorteo, tres sorteos a la semana, cabría esperar unos 1,9 millones de años hasta ganar un bote. En un juego 6/49 que se sortea dos veces por semana, la espera es de unos 134.000 años.
• Segundos: en 9,3 años hay unos 292.201.338 segundos. Ganar es como adivinar el segundo que alguien ha elegido de todo ese tiempo.
• Monedas: lanzar una moneda y sacar cara 28 veces seguidas es 1 entre 268.435.456, algo más probable que el bote.
• Muchos boletos: 100 combinaciones en cada sorteo durante 50 años son 780.000 combinaciones. La probabilidad de que alguna de ellas gane el bote sigue siendo de apenas 1 entre 375, aproximadamente.

Por qué 1-2-3-4-5-6 tiene la misma probabilidad que cualquier otra combinación

En un sorteo justo, cada bola tiene la misma probabilidad de salir, así que todas las combinaciones tienen la misma probabilidad: 1-2-3-4-5-6 tiene exactamente la misma probabilidad, 1 entre 13.983.816 en un juego 6/49, que 3-17-22-30-41-48. Solo parece menos probable porque nos fijamos en los patrones. Hay unas pocas combinaciones fáciles de recordar y millones de combinaciones anodinas, así que casi siempre gana una anodina.

Por la misma razón, no hay números “calientes” ni “fríos”. Un número que lleva meses sin salir no está más cerca de salir que cualquier otro, y uno que salió la semana pasada no es menos probable. La máquina no sabe qué pasó en los sorteos anteriores.

Los números que eliges sí influyen en una cosa: con cuánta gente podrías tener que repartir el premio. Muchos jugadores eligen fechas de cumpleaños (del 1 al 31), secuencias y dibujos en el boleto, así que si gana una combinación de ese tipo, el bote suele repartirse entre más personas. Una combinación sacada al azar evita esas costumbres humanas. No cambia tu probabilidad de ganar, pero puede hacer menos probable tener que compartir el bote. Puedes sacar una con el generador de números de lotería.

Valor esperado: lo que vale un boleto en promedio

El valor esperado de un boleto es lo que devolvería en promedio a muy largo plazo. Para cada premio, multiplica el premio por la probabilidad de ganarlo, suma los resultados y resta el precio del boleto.

Las loterías están diseñadas para repartir en premios menos de lo que recaudan. Una parte de cada boleto paga la gestión del juego, los puntos de venta, los impuestos y, en muchos países, causas benéficas. Por eso el valor esperado de un boleto es negativo: en promedio, devuelve menos de lo que cuesta. Un bote acumulado aumenta el premio mayor, pero la probabilidad no cambia. Los botes grandes también venden más boletos, lo que hace más probable tener que compartir el premio, y los impuestos o un pago único menor pueden reducir lo que se cobra de verdad.

Esta página explica las matemáticas; no es asesoramiento financiero. Si juegas, trata un boleto como el precio de un rato de entretenimiento, fija un presupuesto y no gastes nunca dinero que no puedas permitirte perder. Las loterías son solo para adultos (mayores de 18 años, o de la edad legal donde vivas).