เปรียบเทียบโอกาสถูกลอตเตอรี่

โอกาสถูกแจ็กพอตลอตเตอรี่คือ 1 ในจำนวนตั๋วที่แตกต่างกันทั้งหมดที่คุณซื้อได้ ในเกมที่เลือกตัวเลข 6 ตัวจาก 49 มีชุดที่เป็นไปได้ 13,983,816 ชุด ชุดตัวเลขหนึ่งชุดจึงมีโอกาส 1 ใน 13,983,816 และเมื่อนับแบบเดียวกัน Powerball มีโอกาส 1 ใน 292,201,338 EuroMillions มีโอกาส 1 ใน 139,838,160 และ Lotto สหราชอาณาจักรมีโอกาส 1 ใน 45,057,474

โอกาสถูกลอตเตอรี่หมายความว่าอะไร

“1 ใน 13,983,816” หมายความว่ามีผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดเท่ากัน 13,983,816 แบบ และชุดตัวเลขของคุณคือหนึ่งในนั้น ถ้าเขียนเป็นความน่าจะเป็นคือ 1 ÷ 13,983,816 หรือประมาณ 0.0000072% ว่ากันตามหลักแล้ว นักสถิติจะเรียกค่านี้ว่า “ความน่าจะเป็น” (probability) ส่วน “อัตราต่อรอง” (odds against) จะเป็น 13,983,815 ต่อ 1 ลอตเตอรี่บอกตัวเลขแบบ “1 ใน” และหน้านี้ก็ใช้แบบเดียวกัน

จากตรงนี้จะเห็นสองเรื่อง เรื่องแรก ยิ่งมีชุดตัวเลขมาก โอกาสก็ยิ่งดีขึ้นตามสัดส่วน ชุดตัวเลขที่ต่างกัน 10 ชุดในการออกรางวัล 6/49 งวดเดียวกันให้โอกาส 10 ใน 13,983,816 หรือประมาณ 1 ใน 1,398,382 เรื่องที่สอง การออกรางวัลทุกครั้งเริ่มต้นใหม่เสมอ การไม่ถูกรางวัลเมื่อสัปดาห์ที่แล้วไม่ได้ทำให้สัปดาห์นี้มีโอกาสถูกมากขึ้น เพราะลูกบอลไม่มีความทรงจำ

วิธีคำนวณโอกาสถูกลอตเตอรี่

เลือกตัวเลขจากกลุ่มเดียว

ในเกมลอตเตอรี่แบบเลือกตัวเลข ลำดับของตัวเลขไม่มีผล 7-12-23-31-40-44 ก็คือชุดเดียวกันไม่ว่าลูกไหนจะออกก่อน จำนวนวิธีเลือก k ตัวจาก n ตัวคือจำนวนการจัดหมู่ (combinations) เขียนว่า C(n, k):

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

เครื่องหมาย “!” หมายถึงการคูณจำนวนเต็มทุกตัวไล่ลงไปจนถึง 1 ดังนั้น 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 สำหรับเกม 6/49 ให้คูณตัวเลขหกตัวที่ไล่ลงมาจาก 49 แล้วหารด้วย 6! เพื่อตัดลำดับต่าง ๆ ที่ลูกบอลหกลูกชุดเดียวกันจะออกมาได้:

(49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 10,068,347,520 ÷ 720 = 13,983,816

ลูกบอลที่เพิ่มขึ้นในกลุ่มแต่ละลูกทำให้โอกาสถูกยากขึ้น การเลือก 6 จาก 45 มี 8,145,060 ชุด ขณะที่ 6 จาก 59 มี 45,057,474 ชุด มากกว่าห้าเท่า

สองกลุ่มให้นำมาคูณกัน

เกมอย่าง Powerball และ EuroMillions จะออกลูกบอลอีกชุดหนึ่งที่แยกต่างหาก ทุกชุดของกลุ่มแรกจับคู่ได้กับทุกชุดของกลุ่มที่สอง จึงนำจำนวนของทั้งสองกลุ่มมาคูณกัน:

• Powerball 5 จาก 69 บวก 1 จาก 26: C(69, 5) × 26 = 11,238,513 × 26 = 292,201,338
• EuroMillions 5 จาก 50 บวกดาวนำโชค 2 ดวงจาก 12: C(50, 5) × C(12, 2) = 2,118,760 × 66 = 139,838,160
• Mega Millions 5 จาก 70 บวก 1 จาก 24: C(70, 5) × 24 = 12,103,014 × 24 = 290,472,336

กลุ่มที่สองคือเหตุผลสำคัญที่แจ็กพอตเหล่านี้ถูกยากกว่าเกม 6/49 มาก ลูกบอลที่เพิ่มมาเพียงลูกเดียวจาก 26 ลูกทำให้โอกาสยากขึ้น 26 เท่า

เกมเลขรายหลัก: 10 ยกกำลังจำนวนหลัก

ใน Pick 3, Pick 4, 4D และสลากกินแบ่งรัฐบาล แต่ละหลักเป็น 0 ถึง 9 และออกแยกกัน ตัวเลขจึงซ้ำกันได้และลำดับมีผล แต่ละหลักเป็นไปได้ 10 แบบ ดังนั้น k หลักจะได้ 10^k เลข คือ 1 ใน 1,000 สำหรับสามหลัก 1 ใน 10,000 สำหรับสี่หลัก และ 1 ใน 1,000,000 สำหรับหกหลัก ตัวเลขเหล่านี้คิดสำหรับการถูกตรงทุกหลักตามลำดับ (แบบ “straight”)

รางวัลรอง

หากต้องการถูกพอดี m ตัวจาก k ตัวของคุณ ให้นับจำนวนวิธีเลือก m ตัวจากตัวเลขที่ถูกรางวัล k ตัว และ k − m ตัวจากตัวเลขที่ไม่ถูก แล้วหารด้วยจำนวนชุดทั้งหมด: C(k, m) × C(n − k, k − m) ÷ C(n, k) สำหรับ 6/49:

การไม่ถูกเลยสักตัวคือผลที่เกิดบ่อยที่สุด หน้าของแต่ละลอตเตอรี่ เช่น Lotto สหราชอาณาจักร หรือ Powerball มีโอกาสถูกทุกแบบของเกมนั้น

โอกาสถูกแจ็กพอตของทุกลอตเตอรี่บนเว็บไซต์นี้

นี่คือโอกาสที่ชุดตัวเลขหนึ่งชุดจะถูกทุกตัวที่ผู้เล่นเลือก คำนวณจากรูปแบบของแต่ละเกมตามวิธีข้างต้น ในแต่ละภูมิภาค แจ็กพอตที่ถูกง่ายที่สุดจะอยู่ก่อน โอกาสที่ยากที่สุดบนเว็บไซต์เป็นของเกมแบบ 6 จาก 90 คือ SuperEnalotto และ Çılgın Sayısal Loto ของตุรกี ที่ 1 ใน 622,614,630 ส่วนเกมแบบเลือกตัวเลขที่ถูกง่ายที่สุดคือ Mini Loto ของญี่ปุ่น 5 จาก 31 ที่ 1 ใน 169,911 และเกมเลขรายหลักยังถูกง่ายกว่านั้นอีก

ไม่จำกัดประเทศ

อเมริกา

ยุโรป

เอเชีย

โอเชียเนีย

แอฟริกา

ตารางนี้ไม่รวมลูกโบนัสที่ลอตเตอรี่ออกแต่ผู้เล่นไม่ได้เลือก เกมเสริม และการจับรางวัลพิเศษ ตารางรางวัลของผู้ให้บริการจึงอาจมีระดับรางวัลมากกว่านี้ ผู้ให้บริการยังมักบอก “โอกาสถูกรางวัลรวม” ของรางวัลใดก็ได้ ซึ่งสูงกว่ามากเพราะนับรวมรางวัลที่เล็กที่สุดด้วย รูปแบบเกมอาจเปลี่ยนแปลงเป็นครั้งคราว และกติกาอย่างเป็นทางการของลอตเตอรี่ของคุณมีผลเหนือกว่าเสมอ

โอกาส 1 ใน 292,201,338 น้อยแค่ไหน

ตัวเลขที่ใหญ่ขนาดนี้นึกภาพได้ยาก ลองดูแจ็กพอต Powerball ในมุมที่คุ้นเคยกว่า:

• เวลา: ถ้าเล่นชุดเดียวทุกงวด สัปดาห์ละสามงวด คุณคาดว่าจะต้องรอประมาณ 1.9 ล้านปีกว่าจะถูกแจ็กพอต ส่วนเกม 6/49 ที่ออกสัปดาห์ละสองครั้ง ต้องรอประมาณ 134,000 ปี
• วินาที: 9.3 ปีมีประมาณ 292,201,338 วินาที การถูกแจ็กพอตก็เหมือนการทายให้ถูกว่าใครคนหนึ่งเลือกวินาทีไหนจากเวลาทั้งหมดนั้น
• เหรียญ: การโยนเหรียญแล้วออกหัว 28 ครั้งติดกันมีโอกาส 1 ใน 268,435,456 ซึ่งยังง่ายกว่าการถูกแจ็กพอตอยู่เล็กน้อย
• ตั๋วจำนวนมาก: เล่น 100 ชุดทุกงวดเป็นเวลา 50 ปี รวมเป็น 780,000 ชุด โอกาสที่ชุดใดชุดหนึ่งจะถูกแจ็กพอตก็ยังมีเพียงประมาณ 1 ใน 375

ทำไม 1-2-3-4-5-6 มีโอกาสเท่ากับชุดอื่น

ในการออกรางวัลที่ยุติธรรม ลูกบอลทุกลูกมีโอกาสออกเท่ากัน ทุกชุดจึงมีโอกาสเท่ากัน ในเกม 6/49 ชุด 1-2-3-4-5-6 มีโอกาส 1 ใน 13,983,816 เท่ากับชุด 3-17-22-30-41-48 ทุกประการ ที่ดูเหมือนออกยากกว่าก็เพราะเราสังเกตเห็นรูปแบบ ชุดที่จำง่ายมีอยู่ไม่กี่ชุด แต่ชุดที่จำไม่ได้มีเป็นล้าน ชุดที่ถูกรางวัลจึงแทบจะเป็นชุดที่จำไม่ได้เสมอ

ด้วยเหตุผลเดียวกัน จึงไม่มี “เลขร้อน” หรือ “เลขเย็น” ตัวเลขที่ไม่ออกมาหลายเดือนไม่ได้ “ถึงคราวต้องออก” มากกว่าตัวอื่น และตัวเลขที่เพิ่งออกเมื่อสัปดาห์ที่แล้วก็ไม่ได้มีโอกาสน้อยลง เครื่องไม่รู้ว่าการออกรางวัลครั้งก่อน ๆ เกิดอะไรขึ้น

การเลือกตัวเลขของคุณมีผลอยู่เรื่องเดียว คือจำนวนคนที่คุณอาจต้องหารรางวัลด้วย ผู้เล่นจำนวนมากเลือกวันเกิด (1 ถึง 31) ตัวเลขเรียงกัน และรูปแบบบนตั๋ว ถ้าชุดแบบนั้นถูกรางวัล แจ็กพอตจึงมักถูกแบ่งให้หลายคน ชุดตัวเลขที่สุ่มขึ้นมาช่วยเลี่ยงนิสัยแบบนั้นของคน ไม่ได้เปลี่ยนโอกาสถูกรางวัลของคุณ แต่อาจทำให้โอกาสที่ต้องหารแจ็กพอตกับคนอื่นลดลง คุณสุ่มชุดตัวเลขได้ด้วยเครื่องสุ่มเลขลอตเตอรี่

ค่าคาดหมาย: ตั๋วหนึ่งใบมีมูลค่าเฉลี่ยเท่าไร

ค่าคาดหมาย (expected value) ของตั๋วคือเงินที่ตั๋วจะคืนให้โดยเฉลี่ยในระยะยาวมาก ๆ สำหรับทุกรางวัล ให้คูณเงินรางวัลด้วยโอกาสที่จะถูกรางวัลนั้น รวมผลลัพธ์ทั้งหมด แล้วลบด้วยราคาตั๋ว

ลอตเตอรี่ถูกออกแบบให้จ่ายเงินรางวัลน้อยกว่าเงินที่รับเข้ามา ส่วนหนึ่งของตั๋วทุกใบใช้เป็นค่าดำเนินการ ค่าตอบแทนผู้ขาย ภาษี และในหลายประเทศก็นำไปใช้เพื่อการกุศล ค่าคาดหมายของตั๋วจึงติดลบ โดยเฉลี่ยแล้วได้คืนน้อยกว่าที่จ่ายไป แจ็กพอตสะสมทำให้รางวัลสูงสุดเพิ่มขึ้น แต่โอกาสถูกยังเท่าเดิม แจ็กพอตก้อนใหญ่ยังทำให้ขายตั๋วได้มากขึ้น ซึ่งทำให้มีโอกาสต้องหารรางวัลมากขึ้น และภาษีหรือการเลือกรับเงินก้อนที่น้อยกว่าก็อาจทำให้เงินที่ได้รับจริงลดลง

หน้านี้อธิบายเรื่องคณิตศาสตร์ ไม่ใช่คำแนะนำทางการเงิน หากคุณเล่น ให้มองว่าตั๋วคือค่าความบันเทิง กำหนดงบประมาณ และอย่าใช้เงินที่คุณเสียไม่ได้ ลอตเตอรี่สำหรับผู้ใหญ่เท่านั้น (อายุ 18 ปีขึ้นไป หรือตามเกณฑ์อายุตามกฎหมายในพื้นที่ของคุณ)